Xreferat.com » Рефераты по математике » Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя

Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя

Реферат

на тему:

"Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя"


1. Теорема Ролля


Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).

Теорема 1.1. Если функция Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя непрерывна на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, в которой Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, то, согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и максимума Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя (рис. 1.1).

Если Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, функция постоянна, то есть Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. Но в этом случае Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя для любого Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

В общем случае Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. Тогда существует точка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, в которой Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя

Рис. 1.1


Так как рассматриваемое значение Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя является максимальным, то для него справедливо, что Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя для Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Рассмотрим пределы


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя для Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя


и


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя для Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Так как оба предела равны производной функции Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя в одной и той же точке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, то они равны между собой. Значит, из одновременности Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя следует, что Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, что и требовалось доказать.

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя функция не обращается в ноль, но принимает равные значения Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. Доказательство проводится аналогично.

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя в двух точках Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя касательная к кривой параллельна оси Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Необходимо отметить, что если не во всех точках Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя (рис. 1.2):


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя

Рис. 1.2


Данная функция непрерывна на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и обращается в ноль на его концах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.


2. Теорема Лагранжа


Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).

Теорема. Если функция Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя непрерывна на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, в которой Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Доказательство. Рассмотрим график функции Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя (рис. 2.1).

Проведем хорду, соединяющую точки Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя,


откуда:


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя

Рис. 2.1


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Полученная функция Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя непрерывна на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя в точках Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя показывает, что Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. Значит, функция Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, в которой Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Вычислим производную функции Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя:


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Согласно теореме Ролля в точке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя производная Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, то есть Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и

Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя,


что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя теорема переходит в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя,


то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.


3. Теорема Коши


Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя непрерывны на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, в которой Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Доказательство. Так как Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя во всех точках Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, то отсюда следует, что Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, в которой Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Составим вспомогательную функцию


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Данная функция непрерывна на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя дает: Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. Значит, функция Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, в которой Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Вычислим производную Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя:


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Из условия Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя следует, что


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя,


что и требовалось доказать.

В случае, когда Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.


4. Правило Лопиталя


На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661–1704).

Теорема. Пусть функции Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и при Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Проведем доказательство данной теоремы только для случая, когда Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, положив, что при Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя выполняется равенство Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.

Возьмем точку Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя. Так как функции Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя:


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, где Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Так как Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, то


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Перейдем в данном равенстве к пределу:


Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя.


Но если Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, то и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, находящееся между точками Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя и Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, будет стремится к Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя, значит

Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа.
										<div class=

Похожие рефераты: