Xreferat.com » Рефераты по математике » Пространства Соболева

Пространства Соболева

Введение


Пространства Соболева Пространства Соболева и тесно связанное с ним понятие обобщённой производной в смысле Соболева были введены в математическую практику академиком С.Л. Соболевым и играют важнейшую роль в теоретических и прикладных вопросах математической физики и функционального анализа. Пополнение пространства гладких функций Пространства Соболева некоторыми идеальными элементами, которые можно с любой степенью точности вычислить с помощью элементов из Пространства Соболева приводит, с одной стороны, вследствие полноты Пространства Соболева к точности и завершённости многих математических утверждений, а с другой стороны, сохраняет все вычислительные возможности.


1. Пространства Соболева


1.1 Общее определение


Пусть в Пространства Соболева задана замкнутая ограниченная область Пространства Соболева Рассмотрим линейное пространство вещественных функций Пространства Соболева Пространства Соболева раз непрерывно дифференцируемых на Пространства Соболева Дифференцируемость на замкнутой области Пространства Соболева можно понимать в различных смыслах. Мы будем предполагать, что в Пространства Соболева функции Пространства Соболева Пространства Соболева раз непрерывно дифференцируемы, причём каждая частная производная функции Пространства Соболева имеет предел при стремлении Пространства Соболева к любой граничной точке области Пространства Соболева так что в результате её продолжения на Пространства Соболева она становится непрерывной в Пространства Соболева Граница Пространства Соболева области Пространства Соболева предполагается достаточно гладкой. Кроме того, обычно мы будем считать область Пространства Соболева односвязной и удовлетворяющей таким дополнительным ограничениям, которые могут понадобиться в тех или иных рассуждениях.

Воспользуемся для краткости следующими обозначениями. Набор индексов Пространства Соболева называется мультииндексом. Число Пространства Соболева называется длиной мультииндекса. Для обозначения частных производных примем


Пространства Соболева


Введём в рассмотренном выше линейном пространстве норму Пространства Соболева


Пространства Соболева (1.1)


Полученное нормированное пространство обозначается Пространства Соболева Его пополнение в норме (1.1) обозначается Пространства Соболева и называется пространством Соболева.

В прикладных задачах довольно часто встречается случай Пространства Соболева Общепринято следующее обозначение: Пространства Соболева Пространство Соболева Пространства Соболева является гильбертовым пространством – пополнением пространства Пространства Соболева в норме, порождённой скалярным произведением


Пространства Соболева


Ниже мы подробнее остановимся на частных случаях Пространства Соболева и Пространства Соболева то есть рассмотрим пространства Соболева на вещественной оси и в трёхмерном пространстве.


1.2 Пространство Пространства Соболева


Рассмотрим на отрезке Пространства Соболева пространство Пространства Соболева состоящее из всевозможных функций Пространства Соболева непрерывно дифференцируемых на Пространства Соболева со скалярным произведением


Пространства Соболева (1.2)


и соответствующей этому скалярному произведению нормой


Пространства Соболева (1.3)

Пространства Соболева является пополнением Пространства Соболева в этой норме. Элементами Пространства Соболева согласно теореме о пополнении, являются классы, состоящие из последовательностей Пространства Соболева фундаментальных в Пространства Соболева в среднем, точнее, таких, что


Пространства Соболева при Пространства Соболева


Две такие последовательности Пространства Соболева и Пространства Соболева принадлежат одному классу, если Пространства Соболева является бесконечно малой по норме Пространства Соболева то есть, если


Пространства Соболева при Пространства Соболева


Из условия фундаментальности в среднем Пространства Соболева в Пространства Соболева следует, что отдельно при Пространства Соболева


Пространства Соболева


Аналогично, из условия эквивалентности Пространства Соболева и Пространства Соболева по норме Пространства Соболева следует, что при Пространства Соболева


Пространства Соболева


Согласно определению пространства Пространства Соболева существуют функции Пространства Соболева и Пространства Соболева такие, что при Пространства Соболева Пространства Соболева а Пространства Соболева в среднем.

Мы приходим к следующему важнейшему определению. Пусть Пространства Соболева Тогда в Пространства Соболева определены элемент Пространства Соболева с представителем Пространства Соболева и элемент Пространства Соболева с представителем Пространства Соболева Пространства Соболева называется обобщённой производной (в смысле Соболева) от Пространства Соболева При этом пишут: Пространства Соболева

Из определения обобщённой производной Пространства Соболева видно, что она определяется не локально, в отдельных точках, а глобально – сразу на всём отрезке Пространства Соболева Пусть Пространства Соболева так что Пространства Соболева Пространства Соболева Перейдём к пределу при Пространства Соболева в равенствах


Пространства Соболева (1.4)


Пространства Соболева (1.5)


и, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Лебега, придём к формулам (1.2) и (1.3), где теперь производные понимаются в обобщённом смысле, а интеграл – в смысле Лебега. Для конкретных вычислений, разумеется, можно и нужно пользоваться формулами (1.4) и (1.5), взяв достаточно большое Пространства Соболева то есть вместо идеальных элементов Пространства Соболева Пространства Соболева Пространства Соболева Пространства Соболева воспользоваться их гладкими приближениями Пространства Соболева Пространства Соболева Пространства Соболева Пространства Соболева


1.3 Другое определение обобщённой производной


Пусть Пространства Соболева – множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке Пространства Соболева финитных функций Пространства Соболева Если теперь Пространства Соболева непрерывно дифференцируема на отрезке Пространства Соболева то для произвольной функции Пространства Соболева справедливо следующее интегральное тождество:


Пространства Соболева (1.6)


проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством Пространства Соболева полностью определяется.

Допустим, что, кроме того, для любых Пространства Соболева и некоторой непрерывной на отрезке Пространства Соболева функции Пространства Соболева


Пространства Соболева (1.7)


Вычитая эти тождества, получим, что для любых Пространства Соболева


Пространства Соболева


Отсюда, вследствие плотности Пространства Соболева в Пространства Соболева Пространства Соболева на отрезке Пространства Соболева Оказывается, интегральное тождество (1.7) можно принять за определение обобщённой производной. Прежде всего, справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Если Пространства Соболева то для любых Пространства Соболева справедливо тождество (1.6).

Доказательство. Пусть Пространства Соболева тогда для всех Пространства Соболева имеем (1.6):


Пространства Соболева


Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при Пространства Соболева В результате мы получим тождество (1.6) для любой функции Пространства Соболева Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть даны Пространства Соболева Пространства Соболева такие, что для всех Пространства Соболева справедливо тождество (1.7). Тогда Пространства Соболева (обобщённая производная).

Доказательство. Пусть Пространства Соболева а Пространства Соболева Тогда


Пространства Соболева при Пространства Соболева


для любого Пространства Соболева

Пусть Пространства Соболева – класс, представителем которого является Пространства Соболева

Тогда Пространства Соболева для любых Пространства Соболева Отсюда Пространства Соболева Лемма доказана.


1.4 Простейшая теорема вложения


Теорема 1. Пространства Соболева вложено в Пространства Соболева

Доказательство. Пусть Пространства Соболева непрерывно дифференцируема на отрезке Пространства Соболева Согласно теореме о среднем, вследствие непрерывности Пространства Соболева найдётся точка Пространства Соболева такая, что Пространства Соболева Поэтому на отрезке Пространства Соболева справедливо следующее тождество:


Пространства Соболева


С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем


Пространства Соболева


где Пространства Соболева Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке Пространства Соболева функции Пространства Соболева справедливо неравенство


Пространства Соболева (1.8)


Пусть теперь последовательность Пространства Соболева – фундаментальная по норме Пространства Соболева Тогда


Пространства Соболева

при Пространства Соболева Следовательно, Пространства Соболева фундаментальна в смысле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к Пространства Соболева Тем более Пространства Соболева в среднем. Таким образом, в классе из Пространства Соболева содержащим Пространства Соболева в качестве представителя, содержится непрерывная функция Пространства Соболева и, значит, этот класс можно отождествить с Пространства Соболева Отождествим элементы Пространства Соболева с непрерывными функциями. Пусть Пространства Соболева Переходя в неравенстве Пространства Соболева к пределу при Пространства Соболева придём к неравенству (1.8).

Итак, вложение Пространства Соболева в Пространства Соболева доказано. Доказательство теоремы закончено.


1.5 Пространства Соболева Пространства Соболева и Пространства Соболева


Пусть Пространства Соболева – односвязная область с достаточно гладкой границей Пространства Соболева В замкнутой области Пространства Соболева рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций Пространства Соболева со скалярным произведением


Пространства Соболева


При этом


Пространства Соболева (1.9)


Полученное пространство со скалярным произведением обозначается Пространства Соболева а его пополнение – это, по определению, пространство Соболева Пространства Соболева

Пусть Пространства Соболева – фундаментальная последовательность в Пространства Соболева то есть Пространства Соболева при Пространства Соболева Отсюда следует, что в

Похожие рефераты: