Xreferat.com » Рефераты по математике » Интеграл по комплексной переменной

Интеграл по комплексной переменной

/>                            (2)

Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.

Пусть в (1) и (2)  p =a + in, где a и n – действительные числа.

Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.

Интеграл по комплексной переменной                           (4)

Интеграл по комплексной переменной                           (5)

(4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.

Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :

1) Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

3) Функция абсолютно интегрируема : Интеграл по комплексной переменной, это условие выполняется, если |f(t)|S0t

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C

Интеграл по комплексной переменной

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :

Интеграл по комплексной переменной   т.к.

Если  f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если  f(t) ¹ 0, t

Интеграл по комплексной переменной     (6)

Интеграл по комплексной переменной

Обозначим Интеграл по комплексной переменной

Очевидно, что Интеграл по комплексной переменной                           (6)

Функция (6) называется спектральной плотностью

Интеграл по комплексной переменной

В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :

1) Вычисление интеграла (5)

2) Использование преобразования Лапласа или Фурье.

Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной

Интеграл по комплексной переменной                                                (7)

|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол.

В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u)

Интеграл по комплексной переменной                                           (8)

Интеграл по комплексной переменной                                                      (9)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)|  и фазовый угол y (u).

Пример.

Найти спектральную плотность импульса :Интеграл по комплексной переменной

Интеграл по комплексной переменной

откуда Интеграл по комплексной переменной, далее

Интеграл по комплексной переменной

Интеграл по комплексной переменной

Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо :

1) Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.

2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.

Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:

Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.

Спектральной плотностью  F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iua) абсолютно интегрируемой функции.

Интеграл по комплексной переменной

Интеграл по комплексной переменной

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: