Интеграл по комплексной переменной
Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.
Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа.
Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.
(4)
(5)
(4) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
1) Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
2) Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.
3) Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|S0t
Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C
Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :
т.к.
Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.
Если f(t) ¹ 0, t
(6)
Обозначим
Очевидно, что (6’)
Функция (6) называется спектральной плотностью
В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :
1) Вычисление интеграла (5)
2) Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной
(7)
|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол.
В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u)
(8)
(9)
Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол y (u).
Пример.
Найти спектральную плотность импульса :
откуда , далее
Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.
Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.
Прямое преобразование Фурье необходимо :
1) Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.
2) Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.
Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:
Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.
Спектральной плотностью F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iua) абсолютно интегрируемой функции.