Xreferat.com » Рефераты по математике » Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

1 «взвешенным моментам» искать многочлен Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа, такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа, то есть чтобы выполнялись равенства


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа (14)


4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра


Рассмотрим частный случай весовой функции


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа (15)

Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа или Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа.Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


Многочленами, ортогональными на отрезке [0,1] с весом Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа, будут смещены многочлены Лежандра Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

Они задаются формулой


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа при Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


или же формулой


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


Величина rn в этом случае равна


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


и разложение функции f(t) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа (16)

Величины αk вычисляются по формуле


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа (17)

в которой Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.


Положим теперь Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа Весовая функция имеет вид


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа и Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


Смещенные многочлены Чебышева первого рода Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа являются ортогональной системой на [0,1] по весу Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

Многочлены Якоби Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа отличаются от Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа только численным множителем, а именно


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа,

гдеМногочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


Многочлены Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа имеют вид


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


Значения rn вычисляются по формулам


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

а разложение функции f(t) по смещенным многочленам Чебышева первого рода имеет вид


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа (18)


Коэффициенты ak (k=0, 1, …) вычисляются по формуле (17), в которой Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа - коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа.

В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа, а именно:Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

Сделав замену переменной 2x – 1 = cosθ (0≤θ≤π) и учитывая, что Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа разложение (18) можно переписать в виде:


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.

Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласакомплексного переменного (изображение) с функцией Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласадействительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Интеграл Лапласа имеет вид:


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


где интегрирование производится по некоторому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it.

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа,


переводящего оригинал f(t), 0<t<∞ в изображение F(p),Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа, а также численное обращение преобразования Лапласа.

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):


Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа


где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.

Диткин В.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.

Кожевников Н.И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.

Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. – М.: Наука, 1974. – 226 с.

Размещено на

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: