§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

µ § (1)

Пусть выбран любойµ §, где µ §, и его норма:

µ §- дифференциальный оператор.

µ § - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)

Определение.

Открытое, связное множество µ § называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через µ §или µ § будем обозначать границу области.

Определение.

µ § - (n-1)-мерное многообразие S в µ § принадлежит классу µ § (µ §), если

для µ § и µ § такие, что:

µ §, где µ §

µ § однозначно проектируется на плоскость µ §, при этом:

D - проекция данного множества на плоскость µ §, µ § - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

µ § - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

µ § - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в µ §.

µ §, аналогично µ §.

µ § - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: µ §.

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.

µ §.

µ § - матрица квадратичной формы.

µ § - n вещественных собственных значений матрицы A

µ § - количество положительных собственных значений.

µ § - количество отрицательных собственных значений.

µ § - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если µ §= n или µ §= n, то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

µ §.

2.Если µ § = n - 1, µ § = 1, или µ § = 1, µ § = n - 1, то уравнение гиперболическое.

Ex: µ § - волновое уравнение.

Для уравнения Лапласа:

µ §

Для волнового уравнения:

µ §

3.Если µ §, а µ §, то ультрагиперболическое уравнение.

Ex: µ §.

4.Если µ §, то параболическое уравнение.

Ex: µ §, и - уравнение теплопроводности.

µ §

Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.

1) y=y(x), то:

µ §

Уравнение (1) в новой системе координат:

µ § (1')

Матрица Якоби:

µ §.

В результате:

µ §

Ex:

µ §

гиперболическое уравнение.

µ § - канонический вид волнового уравнения.

Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.

§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.

Задача Коши для волнового уравнения:

µ § µ §

Уравнение теплопроводности

µ § µ §

Уравнение Пуассона

µ §

Определение.

Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.

µ § (6)

µ § (7.1)

µ § (7.2)

µ § (7.3)

(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.

(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.

(6)(7.3) - третья краевая задача.

Волновое уравнение.

µ § (8)

µ § (9)

µ § (10)

µ § (11.1)

µ § (11.2)

µ § (11.3)

(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)

µ § - единичный вектор внешней нормали к поверхности.

На µ § задаются начальные условия.

На боковой поверхности - краевые задачи.

Параболическое уравнение.

µ § (12)

µ § (13)

µ § (14.1)

µ § (14.2)

µ § (14.3)

(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) - на границе задана температура;

(14.2) - задан тепловой поток;

(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).

Первая смешанная задача.

µ § (1)

µ § (2)

µ § (3)

µ § (4)

µ § (5)

µ § (6)

Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.

µ §

µ § - изолир. µ §.

µ § - ортонормированный базис в µ §.

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции µ § - разложены по базису µ §

µ §

тогда и u(t,x) можно разложить по базису µ § : µ §

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

µ §

µ § (7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

µ § (8)

µ § (9)

(7) (8) (9) - задача.

Решим однородное уравнение для (7):

µ §

- общее решение однородного уравнения (7)

µ §

µ § (10)

µ §

В результате: µ § - частное решение неоднородного уравнения (7).

µ § - общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

µ §

т.е. µ §.

µ §

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).

µ § (1)

µ § (2)

µ § (3)

µ § (4)

µ § (5)

µ § - собственные векторы и собственные значения.

µ §

µ § (6)

µ §

µ § - общее решение однородного уравнения (6)

µ § - частное решение неоднородного уравнения (6)

µ §

µ § - общее решение уравнения (6).

µ §

µ §

Рассмотрим функцию:

µ §

µ § - бесконечно дифференцируема при µ §.

Если µ § из µ §, то:

µ §

µ §, и при µ § функция склеивается как бесконечно гладкая.

µ §-финитная :µ §

µ § - замыкание множества, где µ § отлична от 0.

µ §.

Введём µ § - функция n переменных.

Свойства µ § :

1) µ §- бесконечно дифференцируемая, финитная:

µ §.

2) µ § - замкнутый шар радиуса h с центром в O.

µ §.

3)µ §

Доказательство.

µ §, С находится из условия µ §.

4) µ §.

Обозначим: µ §

µ §

Интеграл по x бесконечно дифференцируем.

Если µ §, то: µ §

Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: µ §.

Если µ §, то µ § : µ §.

Свойства функции µ §:

µ §

µ §

µ §

µ §

µ § - срезающая функция.

Пространство µ §.

Определение.

Пусть µ §. Назовём множество функций µ §, пространством µ §, если:

- µ § - измеримы в Q;

- µ § в смысле Лебега.

Вводится µ §. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

Утверждение (без доказательства).

µ § - полное пространство.

Вводится µ §.

Свойства пространства µ §.

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве µ § :

µ §.

Доказательство.

Множество ступенчатых функций плотно в µ §.

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в µ §.

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию µ § можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.

µ §

Рассмотрим µ § - финитная, бесконечно дифференцируема в µ §.

µ §

Значит, µ §.

µ §

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве µ §.

Определение 2.

Пусть µ § и считается продолженной нулем вне Q µ §. Скажем:

f - непрерывна в среднеквадратичном, если µ §:

µ §.

Теорема 3.

Любая функция из µ § непрерывна в среднеквадратичном.

Доказательство.

Пусть µ §. Пусть µ §

µ §

Оценим:

µ §

При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.

µ § µ §

Теорема доказана.

Определение 3.

µ §

µ § - бесконечно дифференцируема, финитна.

Свойства:

µ §

µ § - осреднение функции f.

Теорема 4.

µ §

Любая функция из µ § сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в µ §.

Доказательство.

µ §

От Q к µ §, от µ § к µ §

µ §

При µ §.

Возьмем любые две функции:

µ §

Определение.

µ §- множество функций, принадлежащих µ § на любом компакте внутри области.

µ §

Определение 1.

Пусть µ §

µ § - обобщённая производная функции f, если µ § выполняется:

µ § (1)

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.

Доказательство.

Предположим противное: µ § - обобщённые производные функции f.

µ § (2)

µ § (3)

(2),(3) - тождество для µ §

µ § - что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.

Ex 1.

µ §

По определению:

µ §

Пусть µ § и µ §

µ §

µ §

Ex 2.

µ §

Покажем, что обобщённой производной не существует.

Пусть µ §, то:

µ §

где µ §

1) пусть µ § носитель в µ §, то :

µ §

2) пусть µ § : µ §, значит:

µ §

Вывод: µ §.

µ §

Вывод: µ §, не имеет обобщённой производной.

Теорема 3.

Пусть µ § имеет обобщённую производную µ §, то:

1. µ § (4)

µ §

если µ §.

2. Если к тому же µ §

µ § (6)

µ § (7)

Доказательство.

µ §

Выберем h так, чтобы µ §

µ §

Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.

Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.

µ §

Утверждение.

Пусть µ §, то µ §

µ §

Пусть µ § - открытый компакт, то µ § для µ §

µ §

µ §

Теорема 5.

Пусть µ §. µ § имеет обобщённые производные µ § и µ §, то

существует обобщённая производная µ §.

Пространство Соболева.

Определение.

µ §, такая, что µ § называется пространством Соболева порядка k.

µ §

Обозначения: µ §, µ § или µ §.

Введём µ §.

Утверждение.

µ § - гильбертово(унитарное, сепарабельное).

Теорема 1.

µ § - полное пространство.

Доказательство.

µ § - фундаментальная в µ § µ §

µ §.

µ § - мультииндекс

µ § - может быть равен 0.

µ §

µ § в µ §.

µ § в µ §.

Интегральное тождество для µ §:

µ §

Из сильной сходимости следует слабая:

µ §

µ §

Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.

1.µ § для µ §.

2.Если µ §, то µ §.

3.Если µ §, то µ §.

4.Если µ §, то

µ §

если µ §, то µ §.

5.µ § - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее µ § в µ §.

µ § и пусть µ §.

Пусть µ §.

Пусть µ §, то µ §.

Утверждение.

Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.

6.Обозначим µ § - куб со стороной 2a с центром в начале координат.

Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в µ §.

µ §.

Доказательство.

Раздвинем область, возьмём µ § и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.

µ § (определена в растянутом кубе)

µ §

Оценим: µ §

µ §

Выберем µ § и рассмотрим µ §

µ §

Разбиение единицы.

Теорема.

Пусть µ § - ограниченная область, пусть µ § - покрытие замыкания Q, µ § - может равняться бесконечности.

µ § - открытые, тогда: существует конечный набор µ § - финитные, бесконечно дифференцируемые в µ §, неотрицательные функции, такие, что:

µ §

Используется для локализации свойства: U имеет свойство на µ §, расширяем D на µ § путём домножения на µ §.

Доказательство.

Возьмём µ §. Для µ § - y покрывается множеством µ §.

Для каждой выбранной y построим:

µ §

µ § покрывается µ §. Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:

µ §.

Обозначим: µ §. Обозначим: µ §.

Определим: µ §:

µ §

Получили: µ §.

Если µ §, то µ §, µ §, и µ §.

Знаменатель в 0 не обращается.

Построена

µ § выполняется свойство 3.

µ § - выполняются свойства 1 и 2.

Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.

Частный случай - продолжение из прямоугольников.

µ §

Продолжение функции из µ § в µ §.

Лемма 1.

µ § µ § - продолжение функции f:

µ § и µ §

1.Определить функцию.

2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных по µ § до k-го порядка.

Доказательство.

Определим µ § (2)

Коэффициенты µ § из условия:

µ §

µ § (3)

µ §

Значит, функция непрерывна.

Теперь - доказательство совпадения производных.

µ §

Выполняется одно уравнение из (3), и:

µ §.

Значит: µ §.

Неравенство (1) очевидно через определение нормы в µ §.

Замечание: из доказательства и свойства (6) пространств Соболева следует: можно перейти к µ § - пространству Соболева с выполнением этой теоремы, и (1) тоже справедливо.

Замечание: в силу того, что множество бесконечно дифференцируемых функций в замыкании куба всюду плотно в пространстве µ § в этом кубе и в силу того, что протсранство Соболева инвариантно относительно невырожденной гладкой замены переменных.

Лемма 2.

µ §

µ § (4)

Теорема о продолжении функции.

Пустьµ § - ограниченная область, граница µ §. Пусть µ § (µ §- область), тогда:

µ § - продолжение f, такая, что:

1)µ §

2)µ §

3)µ § (5)

Замечание.

Лемма 1 - рассмотрены кубики, в теореме: из Q на µ § и все свойства, как в лемме 1.

Доказательство.

В окрестности каждой точки границы: µ § нарисуем шар µ §.

Пусть в O(z) граница задаётся уравнением µ §.

Введём новые переменные:

µ § - невырожденное преобразование координат.

Преобразование: µ § - внутри пространства Соболева.

Во что перейдёт множество: µ §

Вырезали куб µ §.

Результат преобразования

Прообраз куба µ § - криволинейный кубик.

Покроем границу кубиками Vⁱ и выберем конечное подпокрытие.

(T^ju)(y) = u(x(y)) (xОV^j) - переход от x к y,

переход от y к x : µ §

µ §

Введём : µ § µ § если µ §

µ §

µ § на носителях µ § обратятся в 1.

µ §

Свойства оператора продолжения:

1. F(x) - ограниченный оператор;

2. Т.к. µ § - финитная, то F(x) - финитная на W

Доказать: F(x)=f(x),если µ §.

µ §

Замечание.

Теорема 1 остаётся справедливой для пространств µ § (следует из доказательства).

Теорема 2.

Пусть µ § - ограниченная область

µ § , µ §- всюду плотно в µ §.

Доказательство.

Рассмотрим произвольную функцию µ §.

µ § - ограниченная.

F-продолжение f. Так как F - финитная в W, то µ §

µ §

Сепарабельность пространств Соболева.

Теорема.

Пусть µ § - ограниченная область, µ §, тогда :

µ § - сепарабельное.

Построениe счётного всюду плотного множества.

Доказательство.

Рассмотрим µ § ; продолжение функции f : µ §.

Аппроксимируем функцию F . Множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций (в силу свойств осреднений) всюду плотно в пространстве финитных функций µ §.

Очевидно : µ §.

Где коэффициенты : µ §.

Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство.

Определение.

Функции µ § образуют ортонормированную систему, если µ § , и µ § .

Утверждение.

В каждом сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис, т.е. такая система µ § ,что µ §.

Разложение по этому базису единственно, и : µ §.

Равенство Парсеваля.

µ §.

Пространство µ § - сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом : можно взять систему экспонент (нормированную).

Разложение в сходящийся ряд :

µ §

Определим вид коэффициентов Фурье:

µ §

проинтегрируем по частям и получим :

µ § , где µ §

Получаем : µ § и следовательно :

µ §

F можно точно аппроксимировать линейными комбинациями экспонент.

Искомое множество - линейное пространство экспонент с рациональными коэффициентами.

След функции из H^k(Q).

Для функции изµ § понятие значения на (n-1)- мерной поверхности не определено.

Если µ § удовлетворяет условиям дифференцируемости, то :

определение следа функции на (n-1)- мерной поверхности.

Рассмотрим µ §µ § -ограниченную область, µ §.

µ § - (n-1) - мерная поверхность, µ §.

Пусть µ §

µ §

µ §Можно разбить на конечное число простых кусков, однозначно проецирующихся на координа тные плоскости и описывающиеся уравнением : µ §µ §

µ §

Для любой непрерывной функции след - её значение на поверхности, однозначно продолженое по непрерывности.

µ §

Так как f=0 вне области Q , то по формуле Ньютона-Лейбница :

µ §

Оценим :

µ §

Обе части умножим на µ § и проинтегрируем по D :

µ §

f- финитная.

Так как µ § может быть продолжена в W µ § финитным образом,

µ §, причём µ §

µ §

µ §

Существует последовательность µ §

µ §µ §

Отсюда следует фундаментальность последовательности следов в µ §

µ §- полное, следовательноµ § - сходится, µ §

Перейдём к пределу, получим :

µ §

Утверждение.

Определение µ § не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности µ §.

Доказательство.

Пусть есть две последовательности µ § в µ §.

Пусть µ §.

Следовательно, должны совпадать два предела в µ §.

Рассмотрим

µ §

Значит : µ §, и µ §.

Если функция непрерывна в µ § и принадлежит µ §, то её понятие следа как значения непрерывной функции и как предела совпадают.

Формула интегрирования по частям.

Пусть Q- ограниченная, µ §.

µ §, µ § - единичный вектор внешней нормали к µ §.

Теорема Реллиха-Гординга.

Если µ §, то µ §, если µ § сходится в µ §, то µ § сходится в µ §µ §.

Пространство Соболева с большим показателем дифференцируемости k компактно вложено в ространство Соболева с меньшим показателем.

Пусть µ §- ограничена, µ §, тогда : µ § - компактно вложено в µ §.

Множества, ограниченные в µ §, являются предкомпактными в µ §.

Определение.

Предкомпактными называются такие множества, замыкания которых компактны.

Из любой ограниченной последовательности функций из µ § можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в µ §.

Или : Для µ § можно выбрать µ § , сходящуюся в µ §.

Доказательство.

1. Продолжим функции µ § финитным образом в более широкую область W, µ §.

µ §.

Оператор продолжения ограничен, и : µ §.

Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функций µ § с компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции µ § - бесконечно дифференцируемы в µ § .

µ §- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.

Используем преобразование Фурье : µ §.

µ §.

В силу финитности : µ §

Оценим по неравенству Коши-Буняковского: µ §

Свойство.

В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

µ § - слабо сходящаяся в µ § .

µ § - сходящаяся для любой непрерывной линейной функции µ §.

В качестве µ § возьмём функции :

µ § - сходится µ §

Докажем, что µ § - фундаментальна в µ §µ §

µ §

µ §

µ §

Так как последовательность µ § сходится для любых x и ограничена, то для интеграла µ § применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :

µ §µ §, где µ §- радиус шара.

µ §

исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования Фурье :

µ §

Выбором R, интеграл µ § можносделать сколь угодно малым, т.е. :µ §.

Если µ § и k,m - выбрать , то : µ § , и последовательность

µ § - фундаментальна.

Формула интегрирования по частям

µ § (1)

µ §µ §- ограничена, µ §.

µ § (2)

µ §

В уравнении (2) перейдем к пределу при µ §, получаем уравнение (1).

Пространство µ §

Определение.

Назовём пространством µ §µ § замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в µ §.

µ §- замыкание µ § в µ §.

Если есть µ §, то :

µ §.

Если µ §, то µ §. Справедливо и обратное утверждение.

Теорема.

µ §.µ §- ограничена, µ §.

Определение.

Эквивалентные нормы.

Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).

Скалярное произведение µ §. , . µ § называется эквивалентным ( . , . ) , если :

µ §

µ §.

Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.

Теорема 2.

В пространстве µ § можно ввести скалярное произведение по формуле :

µ § (3)

Доказательство.

µ §

Надо доказать :

µ § (4)

Доказательство от противного.

µ §

µ §

Будем считать, что µ §, а это значит : µ §

µ §µ § (по теореме Реллиха-Гординга)

µ §

µ §

Имеем противоречие.Теорема доказана.

Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

µ §

Пусть µ §- решение задачи (1)-(2). Возьмем µ § и умножим (1) на µ §, проинтегрируем и получим :

µ §. Если µ §- гладкая, то :

µ § (3)

Определение.

Функция µ § называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции µ § выполняется тождество (3).

При исследовании обобщенных решений µ §.

Лемма.

Существует линейный ограниченный оператор µ §, такой, что µ §.

При этом µ § -компактный самосопряжённый положительный оператор.

По определению : µ §. µ § - антилинейный по µ §.

µ §.

f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :

µ §

F - линейно зависит от u.µ §µ §

µ §.

Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.

µ §

Самосопряженность доказана.

µ §

Теорема.

Для любой функции µ § cуществует единственный µ § краевой задачи (1) (2). При этом

µ § (4)

Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.

Доказательство.

µ §

Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.

µ §

Определение.

Функция µ § называется обобщенной собственной функцией оператора -D с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению l, если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству :

µ §µ § (3)

Теорема.

1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :

µ §

2.Существует ортонормированный базис в µ § состоящий из собственных функций задачи (1) (2) µ §.

3. µ § составляет ортонормированный базис в µ § с эквивалентным скалярным произведением :

µ § (4)

Доказательство.

Интегральное тождество (3) можно записать в виде :

µ § , µ § , µ §.

Эквивалентная задача : µ §

Теорема 1.

Если µ § - линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр µ § - вещественный, и :

µ §

Теорема 2.

Пусть µ § - компактный, самосопряженный оператор, тогда µ § состоит из {0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности :

µ §

{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.

Теорема 3.

Пусть µ § - копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве µ §, состоящий из собственных функций этого оператора : µ §.

Для удобства µ §µ § ,

µ §.

Значит : µ § - ортонормированная система в µ §.

Так как µ § всюду плотно в µ §, то µ § образует ортонормированный базис в µ §.

µ §

Значит : µ § образует ортонормированный базис в µ §.

Рассмотрим задачу :

µ § (1)

где µ §

Краевые условия :

µ §