Xreferat.com » Рефераты по математике » Уравнения математической физики

Уравнения математической физики

(2)

µ § (3)

µ § (4)

µ §

µ § (5)

µ § (6)

µ § (7)

µ § (8)

µ § (9)

Теорема 1.

Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для µ §.

2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда µ § для любого w, являющегося решением (5) (6)

3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.


Теорема Фредгольма.

Рассмотрим уравнения

µ § (10)

µ § (11)

µ § (12)

где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.

1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для µ § существует единственное решение уравнения (10).

2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда µ §.

3. µ §


Оценим член : µ §

µ §

µ §

µ § - компактно.

µ § (13)

µ § (14)

Изучим член :

µ §

Значит :

µ § (15)

(1) (2) µ § (16)

(3) (4) µ § (17)

(5) (6) µ § (18)

Доказана первая часть теоремы.

Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда µ §

Т.е. µ §

Теорема доказана.


Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.

µ §- ограничено (1)

µ § (2)

µ § (3)

µ § в µ §

µ §

µ §

Конечноразностные операторы.

Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.

µ §

Пусть µ §- финитная в Q :

µ § (1)

Аналог формулы интегрирования по частям :

µ §

Обозначим : µ §.

Теорема.

Пусть µ §, тогда :

1) если µ §, где µ §, то :

µ § (3)

и при этом :

µ §

Похожие рефераты: