Уравнения математической физики
µ § (3)
µ § (4)
µ §
µ § (5)
µ § (6)
µ § (7)
µ § (8)
µ § (9)
Теорема 1.
Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для µ §.
2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда µ § для любого w, являющегося решением (5) (6)
3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.
Теорема Фредгольма.
Рассмотрим уравнения
µ § (10)
µ § (11)
µ § (12)
где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.
1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для µ § существует единственное решение уравнения (10).
2. Если уравнение (11) имеет нетривиальное решение, то уравнение (10) разрешимо тогда и только тогда, когда µ §.
3. µ §
Оценим член : µ §
µ §
µ §
µ § - компактно.
µ § (13)
µ § (14)
Изучим член :
µ §
Значит :
µ § (15)
(1) (2) µ § (16)
(3) (4) µ § (17)
(5) (6) µ § (18)
Доказана первая часть теоремы.
Пусть (3) (4) имеет нетривиальное решение, тогда µ §
Т.е. µ §
Теорема доказана.
Разложение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в ряд по собственным функциям.
µ §- ограничено (1)
µ § (2)
µ § (3)
µ § в µ §
µ §
µ §
Конечноразностные операторы.
Цель : Аппроксимация обобщенных производных конечноразностными операторами.
µ §
Пусть µ §- финитная в Q :
µ § (1)
Аналог формулы интегрирования по частям :
µ §
Обозначим : µ §.
Теорема.
Пусть µ §, тогда :
1) если µ §, где µ §, то :
µ § (3)
и при этом :
µ §