Xreferat.com » Рефераты по математике » Уравнения математической физики

Уравнения математической физики

(4)

2) Если для µ §, то : µ §

Доказательство.(1ая часть теоремы)

Из теорем об аппроксимации функции f и её обобщённой производной осреднениями функции f и её обобщенной производной сооответственно следует, что достаточно доказать часть теоремы для финитной бесконечно диффреренцируемой функции.

µ §

µ § (3)

µ § (4)

µ §

µ §

µ § - доказано (3)

µ §

(применив неравенство Коши-Буняковского)

µ §

µ §

По теореме Фубини имеем неравенство :

µ §

µ §

Доказательство. (2-ая часть. )

µ §

Значит : µ §

Доказательство теоремы 2.

Пусть µ §µ §- ограниченная, односвязная область. µ §.

Q - симметрично относительно µ §, т.е. если µ §, то µ §.

µ §

Обозначим :

µ §

Теорема 2.

Пусть µ §, тогда :

1) если µ §, где µ §, то :

µ §

2) если µ §, то : µ §

Указание. Для доказательства рассмотреть :

µ §

По определению обобщённой производной в (1) получаем :

µ § , тогда :

µ §

Локальная гладкость обобщённых решений.

µ §

µ § ограниченная.

Обобщённое решение : µ §,

µ § (3)

Теорема 1.

Для любого µ § обобщённое решение u задачи (1) (2)

µ §

независимо от гладкости границы, если правая часть из µ § , то обобщённое решение тоже гладко.

Доказательство.

µ §µ §

µ §

Достаточно доказать, что µ § в каждом из шаров : µ §.

Обозначим µ §.

В качестве v для (3) возьмём :

µ §

x - финитная, бесконечно дифференцируемая.

µ §, v может быть использована как пробная :

Подставим v в (3) :

µ §

(умножение u на срезающую функцию для локализации свойства в шаре )

µ § (4)

Введём конечноразностный оператор. Пусть µ §.

µ §.

µ § (5)

Представим (5) в виде : µ §.

Оценим : µ §

По неравенству Коши-Буняковского :

µ §

µ §,

где µ §.

Подставляем в решение в качестве пробной функции :

µ §

Результат : µ §

µ § (6)

В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : µ §.

u имеет обощённые производные µ §.

Обобщение Теоремы на случай произвольной гладкости правой части.

Теорема 2.

Пусть µ § - ограничена, µ § - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : µ §.

Гладкость обобщённых решений эллиптических задач вблизи границ.

µ § (1)

µ § (2)

µ §

µ § (3)

Теорема 1.

Пусть µ § - ограниченная область : µ §

µ § - обобщённое решение (1) (2), тогда

µ §.

Доказательство.

µ §

µ §

Доказать, что µ §.

Пусть в окрестности X и Y граница создаётся уравнением :

µ §

Не ограничивая общности рассуждений будем считать, что граница плоская.

Введём срезающую функцию :

µ §

µ §

Подставим v в (3), получим :

µ § (4)

Введём конечноразностный оператор. Пусть µ §.

µ §.

При этом : µ §.

µ § (5)

Представим (5) в виде : µ §.

Через неравенство Коши-Буняковского, получим :

µ §,

где µ §.

Подставляем в решение в качестве пробной функции :

µ §

µ §

В силу 2-ой части теоремы 1 (см. стр. ...) : µ §.

u имеет обощённые производные µ §.

Лемма.

Пусть µ § - обобщённое решение (1) (2), тогда :

µ § - ограничена, следовательно u удовлетворяет уравнению (1) почти всюду в Q.

Будем считать : µ §.

µ §

µ §

Значит : µ §.

Теорема 2.

Пусть µ § - ограниченная область, µ § - обобщённое решение задачи (1) (2), тогда : µ §.

Теорема "вложения" Соболева.

µ §- ограниченная область, µ §, следовательно µ § -непрерывно вложено.

Определение.

Непрерывность оператора наложения - это

µ § почти всюду в Q .

µ § (1)

Доказательство (теоремы).

µ §, где µ §,

если µ §, и :

µ § (2)

Доказательство (1) будет следовать из доказательства (2) и

µ § (3)

Пусть (3) доказана для любой финитной, гладкой µ § , то в этом случае теорема справедлива для µ §.

µ §;

µ §; следует фундаментальность :

µ §

µ §

µ § (4)

(Замечание. Предел в смысле почти всюду : µ § п.в.

Остаётся доказать (3) для любых финитных, бесконечно дифференцируемых в W функций.

µ §

Преобразование Фурье : µ §,

где µ §.

µ §

умножим и разделим на µ § и применим неравенство Коши-Буняковского.

µ §

µ §

Докажем, что интеграл конечен :

µ §

µ §

Где µ §.

Теорема полностью доказана.

Обобщённые и классические решения.

µ § (1)

µ § (2)

Функция µ § - называется классическим решением задачи (1) (2), если она удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям (2).

Теорема 1.

Если µ §, то обобщённое решение µ § обладает следующими свойствами : µ §.

Доказательство.

Пусть µ §, тогда :

µ §

Теорема 2.

Пусть µ § - ограниченная область;

µ §, тогда обобщённое решение

µ §.

Доказательство. µ §

Теорема 3.

Пусть µ § - ограниченная область;

µ §, тогда обобщённое решение

µ § и является классическим решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Доказательство. µ §, следовательно всюду в Q удовлетворяет уравнению (1) и условию (2).

Теорема 4.

Пусть µ § - обобщенная собственная функция оператора µ § с однородными условиями Дирихле, тогда: µ §.

Доказательство.

µ §

Если µ §

µ §

По теореме вложения: µ §


Задача Неймана для уравнения Пуассона.

µ §

Определение.

Функция называется обобщенным решением задачи (1) (2), если:

µ §


Пусть µ § - ограниченная область.

Теорема 1.

Задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда , когда правая часть уравнения (1) ортогональна константам, т.е: µ §.

Лемма.

Существует линейный ограниченный оператор , такой, что:

1)µ §

2) µ § - компактный, самосопряженный, положительный оператор.

Доказательство - аналогично.

µ §

Рассмотрим однородное уравнение:

для однородной задачи (1) (2) µ §

имеет нетривиальное решение.

По определению обобщенного решения : µ §

µ §

Теорема доказана.


Рассмотрим уравнение:

µ §

µ §

Теорема 2.

1. Если задача (3) (4) имеет единственное решение, то задача (1) (2) также имеет единственное решение для µ §.

2. Если задача (3) (4) имеет нетривиальное решение, то задача (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда µ § , где w - решение однородной сопряженной задачи.

3. Размерности подпространств в решениях задач (3) (4) и (5) (6) совпадают и конечны.


Задача Неймана:

µ §

Рассмотрим задачу на собственные значения:

µ §Теорема 3.

1. Собственные значения оператора Лапласа с "-" с условиями Неймана вещественные, конечнократные, неотрицательные и состоят из следующих чисел:

µ §.

2. Соответствующие собственные функции µ § составляют ортонормированный базис в µ §.

3. µ § составляют ортонормированный базис в µ §.

Доказательство.

µ §

Первая часть теоремы доказана.

По Гильберту-Шмидту строится µ § - ортогональный базис в µ § и пусть µ §.

µ §

µ § - ортонормированный базис в µ §.

Теорема 3 доказана.

Задача Дирихле - однозначная разрешимость.


Теорема 4 о гладкости решения задачи Неймана.

Пусть µ § - правая часть уравнения. Пусть µ § - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: µ §

Доказательство - аналогично теореме 3.


Теорема 5.

Пусть граница µ § ; пусть правая часть µ § . µ § - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: µ §.


Теорема 6.

Пусть граница µ § ; правая часть - µ § ; µ § - обобщенное решение задачи (1) (2), тогда: µ §.

Доказательство.

Обобщенное решение: µ § для µ §.

µ §

Уравнение (1) выполняется почти всюду в Q , и:

µ §


Метод Ритца.

Суть: сведение бесконечномерного случая к конечномерному.

Рассмотрим: µ §, где:

l(u) - линейный, ограниченный функционал в µ §.

Найдем минимум квадратичного функционала:

µ §

µ §- конечное число.

Найдется µ § такая, что: µ § - минимизирующая последовательность.

µ §, такой, что: E(u)=d . u - минимизирующий элемент.

Теорема 1.

Существует единственный µ §, минимизирующий функционал E . При этом этом любая минимизирующая последовательность является сходящейся к элементу u : µ § .

Доказательство.

Возьмем любую минимизирующую последовательность. Очевидно:

µ §

Почленно сложим соотношения с "+" и с "-":

µ §

Доказано: последовательность µ § - фундаментальная в полном пространстве, значит: µ § и, значит :

µ §.

Доказано: если µ § - минимизирующая последовательность, то она сходится к минимальному элементу.

Доказательство единственности от противного: пусть есть второй минимальный элемент; составим минимизирующую последовательность: µ §.

Она не сходится, значит, второй минимальный элемент не существует.


Пусть µ § составляют линейно независимую систему функций, линейная оболочка которой плотна в µ §, т.е. полная система, значит:

µ § может быть аппроксимирован µ §.

Обозначим через µ § - конечномерное подпространство µ § , натянутое на первые k функций µ §.

Рассмотрим µ § - задача сводится к конечномерной.

µ §, и E(.) может быть представлен в виде функции k переменных; обозначим её: µ §

Необходимое условие экстремума: µ §, тогда:

µ §, где i=1,...,k. (1)

Система алгебраических уравнений (1) имеет единственное решение, т.к. её определитель (Грама) отличен от 0.

µ §

Обозначим решение µ § , и: µ §- монотонно невозрастающая последовательность минимальных значений функционала.

µ §- последовательность Ритца.

Теорема 2.

Последовательность Ритца является минимизирующей, и, следовательно, сходится к минимизирующему элементу u : µ §.

Доказательство.

Т.к. µ § всюду плотна в µ § , то: µ § , такие что: µ §.

Рассмотрим значение µ § :

µ §

Таким образом: µ § , и при :

µ §.

Теорема 3.

µ § является мимимизирующим элементом для функционала E(u) тогда и только тогда, когда µ §

Доказательство.

Необходимость: пусть u - минимизирующий элемент; возьмем µ § , то: µ § , т.к. u - минимизирующий. Обозначим через µ § . Необходимое условие экстремума: µ § .

µ §

µ §

что и требовалось доказать.

Достаточность: пусть выполняется (2), то рассмотрим:

µ §,

т.е. µ § u - минимизирующий элемент, что и требовалось доказать.

Выводы.

1. Существует единственный минимизирующий элемент - предел минимизирующей последовательности ( последовательности Ритца).

2. Минимизация функционала связана с обобщенным решением краевой задачи.

3. Метод Ритца можно использовать для решения эллиптической задачи.


µ §

µ §

Примеры.

1. µ §

µ §

µ §

µ §- интегральное тождество ( 4 )

(4) определяет обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

µ §


Теорема 4.

1. Существует единственный µ § , минимизирующий функционал в µ § ;

µ §- минимизирующая последовательность µ §

2. Последовательность Ритца для функционала (3) в µ § является минимизирующей.

3. µ §является минимизирующей для функционала (3) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (5)-(6).


2. Задача Неймана.

Любое решение такой задачи равно сумме частного неоднородного и общего однородного решения. Будем искать решение из µ §, где µ § - замкнутое подпространство пространства µ §.

Обобщенное решение задачи (7)-(8) : µ §

Если u=v=const, то илевая и правая части не изменятся и: µ §.

Решение существует и единственно.

µ §

Будем полагать : µ §, тогда:


Теорема 5.

1. Существует единственный µ § , минимизирующий функционал в µ § ;

µ §- минимизирующая последовательность µ §

2. Последовательность Ритца для функционала (10) в µ § является минимизирующей.

3. µ §является минимизирующей для функционала (10) тогда и только тогда, когда u является обобщенным решением задачи (7)-(8).


Изучение классических решений эллиптических задач.

§1. Формула Грина.

µ §- ограниченная область;

µ §

µ §

µ §

Вычтем из первого второе:

µ §


Интегральное представление производной.

Определение.

Фундаментальное решение уравнения Лапласа:

µ §

Следствие.

µ §

Теорема 1.

Пусть µ § - ограниченная область с границей класса µ § .

Пусть µ § , тогда:

µ §

Доказательство.

Рассмотрим:

-- область без шара.

µ §

µ §


µ §


Обозначим :

µ §

Надо доказать, что : µ §.

Обозначим :

µ §

где : µ § - площадь поверхности единичной сферы в n-мерном пространстве.

Учитывая, что:

µ §


µ §

Обозначим : µ §

µ §


Первая теорема о среднем.

Определение.

Функция u называется гармонической в области Q, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа.

Пусть u(x) - гармоническая в µ § .

D- ограниченная область µ § .

µ §

Теорема 1.

Пусть µ § - гармоническая функция в Q , и пусть:

µ §, тогда :µ §

Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому её значений на границе сферы.

Доказательство.

µ §

Обозначим : µ §

µ §

µ §


Вторая теорема о среднем.

Пусть µ § - гармоническая в Q функция;

µ §, тогда : µ §

Доказательство.

µ §

µ §

µ §

µ § , что и требовалось доказать.


Принцип максимума.

Теорема.

µ §- ограниченная, связная;

u(x) - гармоническая в Q, непрерывная в µ § , µ §, тогда:

Похожие рефераты: