Xreferat.com » Рефераты по математике » Уравнения математической физики

Уравнения математической физики

µ §

Доказательство.

Предположим противное: µ §, µ §.

Тогда докажем, что в произвольной точке области значение функции U совпадает с M ,т.е. u-const. Возьмем µ § и соединим ломанной l точки Y и Z . Покроем ломанную конечным числом шаров: µ §. Шары такие : µ § и µ §, причем: µ § , µ §.

µ §

µ §

Если µ § ,то: µ § , µ §

µ §

µ §

µ §

µ §

Теорема доказана.

Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

µ § µ § (1)

µ § µ § (2)

µ § - это не гарантирует существование решения. µ §

Теорема.

Задача (1) (2) может иметь не более одного классического решения.

Доказательство.

Предположим противное: пусть есть два классических решения: µ §. Это значит:

µ § µ § (3)

µ § µ § (4)

µ § µ § (5)

µ § µ § (6)

µ § µ § (7)

µ § µ § (8)

µ §

Значит: µ § и µ §

Следовательно, если существуют два решения, то они равны друг другу. Что и требовалось доказать.


Обобщенные решения смешаной задачи для волнового уравнения.

µ § µ § (1)

µ § (2)

µ § µ § (3)

µ § µ § µ § (4)

µ § µ §

Обозначения: µ §; µ § .

µ § µ §

µ §

µ §

µ § : µ § , µ §

Умножим обе части на v и проинтегрируем по цилиндру:

µ §µ § (5)

Хотя обобщенное решение - общее понятие, но классическое решение

может не быть обобщенным.

Определение.

Обобщенное решение - функция u из µ § - называется

обобщенным решением задачи (1)-(4), если µ § µ § и для

µ §, такого, что µ § и µ § выполняется интегральное

тождество (5).


Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.

µ § µ § (1)

µ § (2)

µ § µ § (3)

µ § µ § µ § (4)

µ §, µ § µ §

µ § µ § (6)

µ § (7)

µ §- ограниченная область; µ §

µ § µ §, µ §, ... , µ §

µ § - базис,

тогда: µ §

µ §

µ § где: µ §

µ §

По теореме Фубини:

µ §

µ §

µ §(8)

Теорема.

µ § µ § µ § ряд (8) сходится в пространстве µ § и сумма этого ряда является обобщенным решением задачи (1)-(4). При этом имеет место оценка: µ § (9)

Доказательство.

Первый этап.

Пусть: µ §

Докажем, что тогда решение u(x,t) имеет вид:

µ §

µ § (10)

µ § (11)

µ § (12)

µ §

при почти всех t µ §.

µ §


Доказано:

если µ § , то: µ § - решение.

µ §

Второй этап.

µ §

то: µ § -обобщенное решение смешанной задачи.

Третий этап.

Докажем, что решения смешанной задачи со специальной правой частью сходятся к обобщенному решению.

Осуществляется предельный переход:

Оценим µ § и их производные:

µ §

µ §

Докажем, что последовательность фундаментальна.

Пусть N>M ; рассмотрим :

µ §

µ §

µ §

Значит µ § -фундаментальная в µ § - полном , т.е. µ §.

µ §

Надо доказать, что u - обобщенное решение, если µ § -обобщенное решение.

µ §

µ § ; при переходе к пределу получим:

µ §


Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.

µ § µ § (1)

µ § (2)

µ § µ § (3)

µ § µ § (4)

µ § µ §

µ §

µ §


Теорема 1.

Задача (1) - (4) может иметь не более одного обобщённого решения.

Доказательство.

Достаточно убедится, что однородная задача будет иметь единственное решение.

µ §

Возьмем:

µ §

где:µ § - произвольная, µ §.

µ §

Интегральное тождество приобретет следующий вид:

µ §

µ §Теорема доказана.


Анизотропные пространства Соболева.

Определение.

Анизотропным пространством Соболева µ § называется множество функций µ §.

Вводится скалярное произведение: µ § (1)

Свойства пространств:

Теорема.

Пространство µ § -полно.

Доказательство.

Фундаментальная последовательность, переход к пределу в интегральном тождестве.

Пусть µ § через µ §.

Теорема 2.

µ §


Теорема 3.

µ §-сепарабельно.

Доказательство - продолжение функции до финитной.


Теорема 4.

µ § µ § всюду плотно в µ §. Возьмем µ §

µ §

µ §

Теорема 5.

Для µ § можно определить след : µ §µ § и при этом: µ §.


Обобщенные решения смешанной задачи для

уравнения теплопроводности.

µ §

µ §

Определение.

Обобщенное решение µ §- называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если µ §: µ § выполняется интегральное тождество (4).


Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности (метод Фурье, метод разделения переменных).

µ §

µ §- собственные значения;

µ § - ортогональный базис в µ §;

µ § - ортонормированный базис в µ §.

Будем считать: µ §

µ §

при почти всех t интегрируема с квадратом в µ §.

Равенство Парсеваля:

µ § f-измерима и µ § по неравенству Гельдера. µ §.

По теореме Лебега можно слева и справа проинтегрировать по t и поменять местами µ §.

µ §

Решение имеет вид:

µ §

Надо доказать сходимость в µ §.


Теорема.

µ § ряд (6) сходится в пространстве µ § к некоторой функции µ §, которая является обобщенным решением задачи (1)-(3). При этом:

µ §

Доказательство.

Первый этап.

Предположим, что правая часть уравнения имеет вид: µ § , а начальная функция: µ §.

Рассмотрим:

µ §

µ §

µ §

-интегральное тождество выполняется.


Второй этап.

µ §

Третий этап. Доказательство фундаментальности последовательности µ §. Оценим модуль:

µ §

Интегрируем слева и справа:

µ §

µ §

Значит: последовательность фундаментальна и она сходится:

µ §

µ §

Переходим к пределу:

µ §

Надо доказать, что u - задает решение задачи.

µ §

При переходе к пределу выполняется интегральное тождество:

µ §

Теореме доказана. Из этой теоремы не следует единственность.


Единственность обобщенного решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

µ §

Теорема.

Задача (1)-(3) может иметь не более одного обобщенного решения.

Доказательство.

Пусть µ § -обобщенные решения, оценимµ §.

µ §

µ § - добавлена гладкость по t.

µ §

Условия, налагаемые на v: µ § .

µ §

µ §

µ §


Формула Кирхгофа.

Дополнительные обозначения:

пусть есть µ § , µ § - фиксируется. Обозначим : µ §- конус с вершиной в µ § .


Возьмем произвольную µ § .

Обозначим:

µ §

µ §.

Выберем µ § и рассмотрим : µ § - вне цилиндра, но внутри конуса.

Обозначим через µ § - часть конической поверхности, ограниченной µ § : µ §

µ §

µ §

µ § - дважды непрерывно дифференцируема в открытом конусе. При этом : µ § - замыкание конуса.

Замечание: µ § -

Похожие рефераты: