Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:
|
|
= | ρ | |
|
|
= |
|
При этом
|
|
(4) |
В вакууме ε = 1, так что
|
|
(5) |
Потенциал φ считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.
Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:
|
|
= |
|
(6) |
|
|
(7) | ||
|
|
(8) |
|
|
= |
|
(9) |
|
|
(10) | ||
|
|
(11) |
| Δ φ | = |
|
(12) |
|
|
(13) | ||
|
|
(14) |
Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.
|
|
= |
|
(15) |
Задача. Электрическое
поле зависит
только от координаты
x согласно формуле
.
Требуется
вычислить
распределение
заряда ρ(x)
и распределение
потенциала
φ(x). При
нахождении
φ(x) принять
φ|x = 0 = 0.
Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:
| ρ | = |
|
|
| ρ | = |
|
Для нахождения потенциала φ(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой φ(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:
|
|
В условии сказано, что φ(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:
|
|
В качестве
переменной
интегрирования
мы используем
,
чтобы избежать
путаницы с x.
Теперь мы проводим
вычисление
и приходим к
окончательному
ответу:
| φ(x) | = |
|
|
| = |
|
Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону φ = α r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ρ(r) для этой области.
Ответ: Er(r) = –5α r4, ρ(r) = –25ε0α r3
Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как φ(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ρ(r).
Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:
|
|
После этого
сразу записывается
(у
нас ε
= 1):
|
|
Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:
|
|
Задача. В цилиндрической
системе имеется
электрическое
поле
,
α>0. Выяснить,
какому распределению
заряда ρ(r)
и какому потенциалу
φ(r) такое
поле соответствует.
Ответ: ρ(r)
= Aε0exp(–α
r)(2–α
r),
Задача.
Проверить,
выполняется
ли критерий
потенциальности
(
)
для поля
и
для поля
.
Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.