Xreferat.com » Рефераты по математике » Некоторые линейные операторы

Некоторые линейные операторы

Содержание


Введение

§1. Определение линейного оператора. Примеры

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

§5. Оператор интегрирования

§6. Оператор дифференцирования

§7. Оператор сдвига

Заключение


Введение


Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=Некоторые линейные операторы.

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/(x), в пространстве дифференцируемых функции D[a, b]. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.


§1. Определение линейного оператора. Примеры


Определение 1. Пусть Ex и Ey 1– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex ® Ey называется линейным оператором, если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного (действительного) числа Некоторые линейные операторы выполняются следующие равенства 2:

А(х1+х2) = Ах1 + Ах2;

А(Некоторые линейные операторых) = Некоторые линейные операторыА(х);

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:

Ax = x для всех x Некоторые линейные операторы Е.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D[a,b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a,b] задан формулой:

Дf(x) = f/(x).

Где f(x) Некоторые линейные операторы D[a, b], f/(x) Некоторые линейные операторы C[a, b].

Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b], а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С[-Некоторые линейные операторы, +Некоторые линейные операторы] – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:

Аf(x) = f(x+a).

Проверим линейность оператора А:

1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

4) Пусть Некоторые линейные операторыНекоторые линейные операторыНекоторые линейные операторы (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение Некоторые линейные операторы1, заданное формулой:

Некоторые линейные операторы

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то Некоторые линейные операторыНекоторые линейные операторы. В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.


§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора


Пусть Некоторые линейные операторы, Некоторые линейные операторы – нормированные пространства.

Определение 2 .Оператор А: Е Некоторые линейные операторы Е1 называется непрерывным в точке Некоторые линейные операторы, если какова бы не была последовательность xn Некоторые линейные операторы x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0) Некоторые линейные операторы 0, p (А(xn), А(x0)) Некоторые линейные операторы 0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестность3 U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V) Некоторые линейные операторы U.

Иначе Некоторые линейные операторы>0 Некоторые линейные операторы>0, что как только p (x, x0) < Некоторые линейные операторы, p (f(x), f(x0)) < Некоторые линейные операторы.

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда и только тогда, когда Некоторые линейные операторы. Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность точек пространства хn®х1, тогда хn–х1®0, отсюда А(хn–х1)®А(0)=0, т. е. А(хn–х1)®0.

Так как А – это линейный оператор, то А(хn–х1)®Ахn–Ах0, а тогда

Ахn-Ах0 ® 0, или Ахn®Ах0.

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С[0, 1] и yn(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

Некоторые линейные операторы p (yn, y) = Некоторые линейные операторыНекоторые линейные операторы|yn(x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(yn) = yn(1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F(yn), F(y)) = |F(yn) - F(y))| = | yn(1) - y(1)| Некоторые линейные операторы Некоторые линейные операторы|yn(x)- y(x))|=p(yn,y),

то есть p (F(yn), F(y)) Некоторые линейные операторы 0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[a, b], то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е Некоторые линейные операторы Е1 называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx|| Некоторые линейные операторы K||x||. (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k Некоторые линейные операторы S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn), сходящуюся к k. Так как kn Некоторые линейные операторы S, то выполняется неравенство: |А(x)| Некоторые линейные операторы kn||x||, (xНекоторые линейные операторыE). Переходя в этом неравенстве к пределу

Некоторые линейные операторы

получаем |А(x)| Некоторые линейные операторы k||x||, где (xНекоторые линейные операторыE), (k Некоторые линейные операторы S).

т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||4.

||А|| Некоторые линейные операторы K, для Некоторые линейные операторыK, подходящего для (1), то есть |А(x)| Некоторые линейные операторы ||А||||x||, где

||А|| = Некоторые линейные операторы Некоторые линейные операторыxНекоторые линейные операторыE.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.


Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx|| Некоторые линейные операторы K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться Некоторые линейные операторы>0, Некоторые линейные операторы>0 что ||x||< Некоторые линейные операторы Некоторые линейные операторы ||Ax|| < Некоторые линейные операторы.

Выберем Некоторые линейные операторы так, чтобы K*||x|| < Некоторые линейные операторы, ||x|| < Некоторые линейные операторы, (К>0), значит Некоторые линейные операторы = Некоторые линейные операторы, тогда если ||x||< Некоторые линейные операторы, то ||Аx|| Некоторые линейные операторы K||x|| < KНекоторые линейные операторы = Некоторые линейные операторы

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в Некоторые линейные операторы точке.

Достаточность:

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||.

Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т.д.

Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = Некоторые линейные операторы, где

||yn|| = Некоторые линейные операторы.

Следовательно последовательность yn Некоторые линейные операторы 0 при n Некоторые линейные операторы Некоторые линейные операторы.

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn Некоторые линейные операторы 0, однако

||Аyn || = ||AНекоторые линейные операторы|| = Некоторые линейные операторы||Axn ||Некоторые линейные операторы > n|| xn||Некоторые линейные операторыНекоторые линейные операторы = 1, получаем противоречие с Аyn Некоторые линейные операторы 0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.


Примеры.

1) Покажем, что норма функционала5 F(y) = Некоторые линейные операторы в C[a, b], где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна Некоторые линейные операторы.

По определению 5: ||F|| = Некоторые линейные операторы|F(x)| = Некоторые линейные операторы|Некоторые линейные операторы|.

|Некоторые линейные операторы| Некоторые линейные операторы |Некоторые линейные операторы| = |Некоторые линейные операторыy(x)||Некоторые линейные операторы| Некоторые линейные операторы Некоторые линейные операторы|y(x)||Некоторые линейные операторы|;

||F|| = Некоторые линейные операторы(Некоторые линейные операторы|y(x)||Некоторые линейные операторы|) = Некоторые линейные операторы||y(x)|||Некоторые линейные операторы| = |Некоторые линейные операторы| Некоторые линейные операторы Некоторые линейные операторы.

Таким образом, норма F(y) = Некоторые линейные операторы будет ||F|| = Некоторые линейные операторы;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = Некоторые линейные операторы.

По выше доказанному ||F|| = Некоторые линейные операторы = 1.


§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента


Пусть Некоторые линейные операторы, Некоторые линейные операторы – нормированные пространства, Некоторые линейные операторы – линейный оператор, DA- область определения оператора, а RA – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего RA, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий DA и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А-1.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор Некоторые линейные операторы имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

Некоторые линейные операторы, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0 Некоторые линейные операторы m*||x||, отсюда ||x|| Некоторые линейные операторы 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A-1y, норма ||A-1y||=||x||, но ||x|| Некоторые линейные операторы Некоторые линейные операторы||Ax||=Некоторые линейные операторы||y||.

Отсюда ||A-1y|| Некоторые линейные операторы Некоторые линейные операторы||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A-1||=Некоторые линейные операторы.

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A-1y|| Некоторые линейные операторы М||y||.

Подставляем значение y и значение A-1y,получим ||x|| Некоторые линейные операторы M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax|| Некоторые линейные операторы Некоторые линейные операторы||x||.

Положим Некоторые линейные операторы=m, получим ||Ax|| Некоторые линейные операторы m||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn. Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор Некоторые линейные операторы, где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)-1 при этом не существует;

существует ограниченный оператор (А – λI)-1, то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

оператор (А – λI)-1 существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число λ мы

Похожие рефераты: