Некоторые линейные операторы

|g(x)|*( + ***b) |g(x)|*( + *{1, }*b) = ||g(x)||*( + *{1, }*b);

Итак:

||Bg|| ||g(x)||*( + *{1, }*b);

То есть В – ограничен.

Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A - *I).

Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A - *I)*(Bg) = g(x).

Итак, нужно доказать, что

+ g(x) + * = g(x)

или

-* - + ** = 0; (*)

Возьмем производную от левой части (*) и получим:

-*g(x) - ** + ** + *** g(x) = -*g(x) + *g(x) - ** + ** = 0;

Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A - *I) в S.

Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A - *I), который существует при R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение при которых В не существует, то есть =0.

Вывод:

Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = , где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t [a,x]; x [a,b]; a,bR:

линейный;

непрерывный;

ограниченный: 0 || |b-a|;

норма A: ||A|| = (b-a);

резольвента оператора А: R(A) = - - **, где

x [0,b], t [0,x], g(x) S, S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||=|f(x)|, g(x) = - *f(x), - произвольное число.

Спектр оператора А: =0.

§6.Оператор дифференцирования.

Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом:

Дf(x) = f/(x);

Функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b];

Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:

1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).

Д(f+g) = (f+g)/ = f/ + g/ = Д(f) + Д(g).

2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).

Д(kf) = (kf) / = k(f)/ = kД(f).

Исходя из свойств производной:

производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;

постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Можно утверждать, что Д – линейный оператор.

3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.

3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.

Задан оператор Дf(x) = f/(x) подпространства E C[0, 2], состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2].

Рассмотрим f0(x) = 0 C[0, 2] и последовательность функций fn(x)=.

В пространстве E C[0, 2]: p (f0, fn) = || = 0, следовательно fn f0.

Рассмотрим последовательность образов: Д(fn ) = cos(nx).

Имеем:

p (Дfn, Дf0) = |cos(nx)| = 1.

Это означает, что Дfn не может сходиться к Дf0 , то есть отображение Д терпит разрыв в f0.

Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.

3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.

Пусть оператор Д действует из C[0, 1] в C[0, 1], оператор Дf(x) = f/(x);

Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.

В пространстве C[0, 1] норма ||f|| = |f(t)|.

Возьмем из C[0, 1] последовательность fn(t) = tn. Она ограничена в C[0, 1]: ||fn(t)|| = |tn| = 1.

Рассмотрим Д fn(t): Д fn(t) = f/n(t) = n tn-1;

||f/n(t)|| = |n tn-1| = n.

В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.

Вывод:

Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f/(x), где функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b]:

линейный;

не ограниченный;

не непрерывный.

§7.Оператор сдвига

Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[], заданный следующим образом:

Af(x) = f(x+a).

Функции f(x), f(x+a) C[], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.

Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы :

1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).

А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

По определению суммы функции, аксиома верна.

2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).

A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).

Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn(x), f0(x)) 0 p (A fn(x), Af0(x)) 0.

Оператор А действует в пространстве C[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) - f0(x)|.

Решение:

p (A fn(x), Af0(x)) = |Afn(x) - Af0(x)| = |fn(x+a) - f0(x+a)| = = |fn(t) - f0(t)| = p (fn(t), f0(t)) 0.

Таким образом p (A fn(x), Af0(x)) 0. Следовательно оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):

||A|| = |Af| = |f(x+a)| 1.

Поскольку ||f|| = |f(x)| 1.

Норма А: ||A|| = 1.

5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)

Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):

A-1f(x) = f(x-a).

6) Спектр оператора А.

Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, +), имеющих конечный предел на :

Af(x) = f(x+a), a0.

Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,b) и С[а,+).

Введем функцию V(x) = при ||<1, 0, найдем ее предел:

= 0

Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С[0,+).

Теперь рассмотрим V(x+a) = = * = *V(x).

Для =0 подберем непрерывную функцию = 0 при x а и не равную 0 при x [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению V(x) - V(x+a) = 0. Значит =1 точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга