Высшая математика
Задача 1
Провести полное исследование функций и построить их графики
Решение:
1) Область определения ,функция общего вида, т.к.
y(-x)≠-y(x), y(-x)≠y(x);
2) =>x=-4
точка разрыва 2-го рода
3) Нули функции
4) Интервалы монотонности
возможные точки экстремума
не существует при
-12 | 4 | 0 | |||||
0 | - | 0 | |||||
-27 | - | 0 |
Функция возрастает при
.
Функция убывает при .
– точка максимума.
5. Выпуклость и вогнутость кривой.
при
не существует при
при кривая выпукла
при кривая вогнута
тч. перегиба
6) Асимптоты.
а) вертикальные: х=-4.
б) наклонные:
, =>
– наклонная асимптота
7) График функции
Задача 2
Фирма планирует собирать S шт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q , шт./партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны СП, руб./поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в СХ. руб./шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.
Таблица 1 - Параметры системы снабжения фирмы кинескопами
№ | S |
СП |
СХ |
12 | 62000 | 1650 | 68 |
Указания к задаче 2:
1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов ИП(q), издержек хранения ИХ(q) и суммарных издержек И(q) → min;
2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;
3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год Nо, период между поставками То, издержки пополнения ИПо, издержки хранения ИХо , суммарные издержки Ио);
4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;
5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.
Решение:
Годовые издержки пополнения запасов ИП можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки СП.
ИП = N * СП
Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:
N =
Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:
ИП(q) = СП *
Функцию годовых издержек хранения ИХ можно определить как произведение стоимости хранения единицы СХ на среднее число кинескопов на складе.
Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.
Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:
ИХ(q) = CX * = CX *
Запишем функцию суммарных издержек:
И(q) = ИП(q) + ИХ(q) = СП * + CX *
Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.
И’(q) = (СП * + CX * )’= – +
Составим и решим уравнение:
– + = 0 ; = ; q2 = ; q = .
Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.
В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.
Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.
Найдем оптимальный размер партии:
q = = » 1735 шт.
Найдем число поставок в год:
Nо = S / q = 62000 / 1735 = 35,7 » 36 раз
Найдем период между поставками:
То = 360 / 36 = 10 дней
Найдем издержки пополнения:
ИПо = СП * N = 1650 * 36 = 59400 руб.
Найдем издержки хранения:
ИХо = CX * = 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.
Найдем суммарные издержки
Ио = ИПо + ИХо = 59400 + 58990 = 118390 руб.
Построим график запасов:
Рис. 1
Рассмотрим функции издержек.
Годовые издержки пополнения запасов ИП(q) = СП * являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.
Годовые издержки хранения ИХ(q) = CX * являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.
Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого, функция сначала убывает – когда издержки пополнения запасов существенно выше издержек хранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать – когда издержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержек имеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.
Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:
Рис..2
Задача 3
Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Yi) за 6 последних месяцев (Xi =1...6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставлена задача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использовать ее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, Xj =7, 8).
Таблица 1 - Данные о помесячных объемах продаж фирмы
№ |
Y1 |
Y2 |
Y3 |
Y4 |
Y5 |
Y6 |
12 | 14 | 13 | 11 | 14 | 13 | 16 |
Указания к задаче 3:
1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a0x + a1;
2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейной функции;
3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейной функции;
4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьте таблицу.
Таблица.2 - Параметризация аппроксимирующей линейной функции.
i |
Xi |
Yi |
Xi2 |
XiYi |
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||