Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.
Курсовая работа
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-31
Зелюткина В.И.
Научный руководитель: профессор,
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры алгебры и геометрии
Монахов В.С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1. Конечные группы со
сверхразрешимыми подгруппами четного индекса
2. Конечные группы со
сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса
3. О неразрешимых группах с
заданными подгруппами непримарного индекса
Заключение
Список литературы
Введение
Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:
A. Пусть 
- конечная группа и 
.
Тогда и только тогда в группе все подгруппы
четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:
1) -
2-группа;
2) 
-
группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка 
, где 
-
показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;
3) 
.
1. 
-
наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы 
также принадлежит .
2. ,
то ---
-свободна.
3. и
не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа
в элементарная абелева или типа 
.
4. -
разрешимая группа и , то 2-длина группы не превосходит 1.
5. -
разрешимая группа и . Если и силовская 2-подгруппа 
из неабелева,
то центр 
совпадает с центром .
6. -
разрешимая группа и 
. Тогда и только тогда , когда -
группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где -
показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .
Лемма 7. и - простая
неабелева группа, то 
.
8. и
, то 
.
9. 
для
.
Во второй - конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:
B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:
1) 
или
, где 
-
5-группа;
2) 
,
где - 3-группа.
C. -
разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса
сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и 
- дисперсивная группа порядка 
, где 
.
1. конечная
группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в
любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая
подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.
2. -
конечная группа и 
- простое число, делящее
порядок . Если в нет
-замкнутых подгрупп Шмидта, то -нильпотентна.
3. 
-
сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой
и циклической силовской 
-подгруппой 
,
то 
.
4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.
5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.
6. группа порядка 
, где и
- простые числа, и
не делит 
,
нильпотентна.
7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.
8. 
-
подгруппа примарного индекса 
конечной группы , то 
.
9. -
группа порядка 
, где и - простые числа,
и 
. Пpeдnoлoжим,
что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда 
либо -группа,
либо группа Шмидта 
, где - элементарная абелева, или группа
кватернионов.
10. -
группа порядка , где и - простые числа,
и 
. Предположим,
что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа 
либо -группа,
либо изоморфна 
и 
делит
.
Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:
D. класс 
замкнут относительно прямых произведений и 
разрешим. Если в конечной неразрешимой
группе 
нет неединичных нормальных -подгрупп, то изоморфна
одной из следующих групп: 
и 
- простое число или 9; 
или 
и
.
1. конечная неразрешимая
группа принадлежит 
, то 
,
где 
, а 
и
.
2. класс замкнут относительно прямых произведений, и - неразрешимая группа, принадлежащая . Если 
-
минимальная нормальная в подгруппа, то
либо 
, либо -
простая неабелева группа, 
и 
, где 
.
3. класс 
разрешим и -
простая неабелева группа из , то:
1) 
,
, 
и 
или -
простое число;
2) 
,
и 
- простое число;
3) 
,
, 
;
4) 
,
или 
,
или 
соответственно.
В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.
1. Конечные
группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса
Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая
A. Пусть - конечная группа и .
Тогда и только тогда в группе все подгруппы
четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:
1) -
2-группа;
2) -
группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка , где -
показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;
3) 
.
Здесь 
-
центр группы , 
-
наибольшая нормальная в подгруппа
нечетного порядка. Через обозначим класс
конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.
1. -
наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы также принадлежит осуществляется
проверкой.
Отметим, что знакопеременная
группа
, но 
не
содержится в . Поэтому не
является формацией и не является классом Фиттинга.
Через обозначается
симметрическая группа степени 4. Конечная группа называется
-свободной, если в ней нет подгрупп и таких, что нормальна в и
изоморфна .
2. ,
то ----свободна.
. Допустим противное, т.е. предположим,
что существует секция , изоморфная . Тогда существует подгруппа 
индекса 2 в и
изоморфна 
.
Так как несверхразрешима, то 