Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)
Формулы сокращенного умножения
(а в)2 = а2 2ав + в2
(а в)3 = а3 3а2в + 3ав2 в3
а2 в2 = (а + в) (а в)
а3 + в3 = (а + в) (а2 ав + в2)
а3 в3 = (а в) (а2 + ав + в2)
(а + в + с)2 = а2 + в2 + с2 +2ав +2ас +2вс
Степени.
ам ан = ам + н
ам ан = ам н
(ав)м = ам вм
(ам)н = амн
(а в)м = ам вм
а м = 1 ам
ам н = н ам
Корни.
нав =на нв
на мв = н мам вн
на в = на нв
(нам)х = нам х
нам = ам/н
мна = мна
(на)м = нам
Арифметическая прогрессия.
а1, а2, а3, …, а n-1, аn
а n-1 - аn = d
d – разность прогрессии
а2 = а1+ d
а3 = а2 + d = а1 + 2d
аn = а1 + d(n-1)
Sn = (а1 + аn) n = (2а1 + ( n-1) d) n
2 2
Sn – сумма членов арифметической
прогрессии.
d – разность прогрессии.
d > 0 – прогрессия возрастающая
d < 0 – прогрессия убывающая.
Геометрическая прогрессия.
а1, а2, а3, …, а n-1, аn
а n+1 / аn = q
а2 = а1 q
q - знаменатель прогрессии.
а3 = а2 q = а1 q2
аn = а1 q n-1
Сумма членов для возрастающей
прогрессии (q > 1)
Sn = аn q - а1 = а1 (qn -1 q – 1)
q – 1
Сумма членов для убывающей прогрессии (q < 1)
Sn = а1 (1 - qn)
1 - q
Сумма членов бесконечно убывающей
Прогрессии
Sn = а1
1 - q
Вектора.
а = М1М2 =х2 – х1, у2 – у1, z2 –z1
Длина вектора
а =(х2 - х1)2 +(у2 - у1)2 + (z2 - z1)2
Умножение вектора на число
а = d
Скалярное произведение векторов
а в = а в cos
cos = х1х2 + у1у2 + z1z2
х12 + у12 +z12 х22 +у22 + z22
а2 = а 2
а в = х1х2 + у1у2 + z1z2
Параллельность векторов
а в, то х1 = у1 = z1
х2 у2 z2
Перпендикулярность векторов
а в, то х1х2 + у1у2 + z1z2
Производная.
(c u) = с u
u = u v – u v
v v2
(c) = 0
(xn ) = n xn-1
(ax) = ax ln a
(ех ) = ех
(sin x) = cos x
(cos x) = - sin x
(tg x) = 1
cos2 x
(ctg x) = - 1
sin2 x
(ln x) = 1
х
(1 / х) = - 1
х2
(х) = 1
2 х
(х) = 1
Логарифмы.
logав = с
logа 1 = 0
logа а = 1
logа (m n) = logа m + logа n
logа m = logа m - logа n
n
logа m n = n logа m
logа n m = 1 logа m
n
logав = logсв
logс а
Основные тригонометрические тождества
sin2x + cos2x = 1
tg x = sin x
cos x
ctg x = cos x
sin x
1 + ctg2 x = 1
sin2 x
1 + tg2 x = 1
cos2 x
tg x ctg x = 1
Формулы сложения и вычитания
sin ( ) = sin cos cos sin
cos ( ) = cos cos sin sin
tg ( ) = (tg tg)
(1 + tg tg)
ctg ( ) = ctg ctg 1
ctg ctg
sin + sin = 2 sin ( + ) cos ( )
2
sin sin = 2 cos ( + ) sin ( )
2
cos + cos = 2 cos ( + ) cos ( )
2
cos cos = 2 sin ( + ) sin ( )
2
tg tg = sin ( )
cos cos
ctg ctg = sin ( )
sin sin
sin2 sin2 = cos2 cos2 =
sin ( + ) sin ( )
cos2 sin2 = cos2 sin2 =
cos ( + ) cos ( )
Связь между тригонометрическими функциями
sin = 1 cos2
sin = tg
1 + tg2
sin