Xreferat.com » Рефераты по математике » Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра

Размещено на /

Министерство образования и науки РФ

Федеральное Агентство по образованию

ГОУ ПВО «Таганрогский государственный педагогический институт»


Курсовая работа


на тему: Интегралы, зависящие от параметра


Таганрог. 2009 г.

Введение


Математический анализ - общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая часть математики, связанная с понятиями функции, производной и интеграла. Цель дисциплины «Математический анализ»- ознакомление с фундаментальными методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления.

Объектами изучения в данной дисциплине являются прежде всего функции. С их помощью могут быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные процессы, происходящие в технике. Отсюда объективная важность математического анализа как изучения функций. 2 Интегралы, зависящие от параметра.

1.Интегралы, зависящие от параметраНесобственные интегралы


Несобственные интегралы первого рода.

Пусть f :[a, +Интегралы, зависящие от параметраR и интегрируема по Риману на любом отрезке [a, A] (AИнтегралы, зависящие от параметра(а,Интегралы, зависящие от параметраИнтегралы, зависящие от параметраФормальное выражение


Интегралы, зависящие от параметра


назовем несобственным интегралом первого рода.

Определени2.1 Несобственный интеграл первого рода назовем сходящимся, если существует


Интегралы, зависящие от параметра


В этом случае будем говорить, что число I является значением интеграла и писать


Интегралы, зависящие от параметраИнтегралы, зависящие от параметра


Если же указанный предел равен бесконечности или вовсе не существует, то будем говорить, что интеграл расходится.

При аналогичных предложениях определим несобственные интегралы


Интегралы, зависящие от параметра и Интегралы, зависящие от параметра

Пример.2.1. Исследовать на сходимость интеграл

Интегралы, зависящие от параметра


∆Пусть Интегралы, зависящие от параметра тогда


Интегралы, зависящие от параметра


Если Интегралы, зависящие от параметра, то существует конечный Интегралы, зависящие от параметра то есть интеграл J сходится, причем Интегралы, зависящие от параметра Если Интегралы, зависящие от параметра то Интегралы, зависящие от параметра и поэтому интеграл J расходится. При Интегралы, зависящие от параметра интеграл также расходится, так как Интегралы, зависящие от параметра при Интегралы, зависящие от параметра

Таким образом, интеграл J сходится при Интегралы, зависящие от параметра и расходится при Интегралы, зависящие от параметра

Теорема 2.1(критерий Коши) Для сходимости несобственного интеграла


Интегралы, зависящие от параметра


Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши


Интегралы, зависящие от параметра (1)

Обозначим


Интегралы, зависящие от параметра Интегралы, зависящие от параметра (2)


Тогда сходимость интеграла J означает существование конечного предела функции Интегралы, зависящие от параметра при Интегралы, зависящие от параметра а этот предел, согласно критерию Коши для функций, существует в том и только том случае, когда функция F удовлетворяет условию


Интегралы, зависящие от параметра (3)


Из формулы (2) в силу свойств интеграла следует, что


Интегралы, зависящие от параметра


Поэтому условие (3), являясь необходимым и достаточным для сходимости интеграла J, выполняется тогда и только тогда, когда выполняется условие (1), если взять Интегралы, зависящие от параметра

Если использовать определение предела функции по Гейне, то можно сформулировать

Предложение 2.1 Интегралы, зависящие от параметра сходится тогда и только тогда, когда

для любой последовательности Интегралы, зависящие от параметра→+∞, последовательность интегралов Интегралы, зависящие от параметра сходится.

Определение 2. 2. Назовем интеграл Интегралы, зависящие от параметра абсолютно сходящимся, если сходится интеграл Интегралы, зависящие от параметра

Теорема 2.2. Если Интегралы, зависящие от параметра сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. Так как интеграл сходится абсолютно, то по критерию Коши Интегралы, зависящие от параметравыполняется условие


Интегралы, зависящие от параметра


Но тогда и


Интегралы, зависящие от параметра


При любых Интегралы, зависящие от параметра

Определение 2.3. ЕслиИнтегралы, зависящие от параметра сходится, но не сходится абсолют-

но, то будем называть его условно сходящимся.

Теорема 2.3 (Вейерштрасс). Пусть функции f, g: [а; +∞) →R, интегрируемы по Риману на [а; А] при любом А > а, Интегралы, зависящие от параметра для всех Интегралы, зависящие от параметра и Интегралы, зависящие от параметра сходится. Тогда Интегралы, зависящие от параметра тоже сходится и притом абсолютно.

Доказательство. Так как Интегралы, зависящие от параметра сходится, то по критерию Коши

Интегралы, зависящие от параметра


Но тогда при А’, А” > Интегралы, зависящие от параметра имеем:


Интегралы, зависящие от параметра


Из полученной оценки, в силу критерия Коми, вытекает и сходимость и абсолютная сходимость интеграла от f(x) •

Замечание 2.1. Неравенство Интегралы, зависящие от параметра в формулировке теоремы может выполняться лишь для Интегралы, зависящие от параметра, где b>a. Это вытекает из того, что всегда можно представить Интегралы, зависящие от параметра

Первый интеграл в этом представлении не особенный, а ко второму можно применить доказанную теорему.

Пример 2.2 Рассмотрим интегралы Интегралы, зависящие от параметра

Решение. Так как Интегралы, зависящие от параметра а Интегралы, зависящие от параметра сходится, если р> 1 (пример2.1) то и Интегралы, зависящие от параметра сходится, и притом абсолютно, при р > 1. Второй интеграл рассматривается аналогично.

Теорема 2.4 (Дирихле) Пусть функции f, g: Интегралы, зависящие от параметра и интегрируемы по Риману на [а; А] при любом А > а. Тогда Интегралы, зависящие от параметрасходится, если выполнены следующие два условия:

1) Интегралы, зависящие от параметра ограничен на [а; +∞);

2) функция g(x) монотонно стремится к нулю при Интегралы, зависящие от параметра

Доказательство. По первому условию существует постоянная М такая, что Интегралы, зависящие от параметра.

По второму условию Интегралы, зависящие от параметра такое, что при А > Интегралы, зависящие от параметра будет выполняться неравенство Интегралы, зависящие от параметра. По второму же условию функцию g(x) можно считать неотрицательной. Возьмём Интегралы, зависящие от параметра и применим к интегралу Интегралы, зависящие от параметра вторую теорему о среднем значении (формулу Боннэ), согласно которой найдётся Интегралы, зависящие от параметра такое, что


Интегралы, зависящие от параметра


Но тогда, поскольку


Интегралы, зависящие от параметра


справедлива оценка


Интегралы, зависящие от параметра


для любых А’, А” > Интегралы, зависящие от параметра. По критерию Коши интеграл сходится.

Теорема 2.5 (Абель) Пусть функции f, g : [а; +∞)→R и интегрируемы по Риману на [а; А] при любом А > а. ТогдаИнтегралы, зависящие от параметра сходится, если выполнены следующие два условия:

1) Интегралы, зависящие от параметра сходится;

2) функция g(x) монотонна и ограничена на [а; +∞).

Доказательство. В силу второго условия существуетИнтегралы, зависящие от параметра.

Тогда Интегралы, зависящие от параметра

Первый из интегралов справа сходится по признаку Дирихле, поскольку

Интегралы, зависящие от параметрамонотонно стремится к нулю при х→+∞, а второй сходится в силу условия 1 доказываемой теоремы. ■

Замечание 2.2 При доказательстве теоремы Абеля было использовано очевидное свойство

несобственных интегралов: если сходятся интегралы Интегралы, зависящие от параметра и Интегралы, зависящие от параметра, то сходится иИнтегралы, зависящие от параметра, при этом Интегралы, зависящие от параметра=Интегралы, зависящие от параметра+Интегралы, зависящие от параметра

Пример 2.3 Вернемся к рассмотренным выше примерам Интегралы, зависящие от параметра

Решение. По признаку Дирихле эти интегралы сходятся при р > 0, поскольку при этом условии дробь Интегралы, зависящие от параметра↓ 0, а интегралы Интегралы, зависящие от параметраИнтегралы, зависящие от параметра очевидно, ограничены.

Пример 2.4 РассмотримИнтегралы, зависящие от параметра

Решение. Этот интеграл сходится по признаку Абеля. Действительно, сходимость интеграла Интегралы, зависящие от параметра установлена в предыдущем примере, а

функция arctg х монотонна и ограничена. ■ Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция f : (а; b] →R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b] при любом 0<δ<b-a.

Формальное выражение Интегралы, зависящие от параметра назовём несобственным интегралом второго рода.

Определение 2.4 Несобственный интеграл второго рода назовём сходящимся, если существует


Интегралы, зависящие от параметра


В этом случае будем говорить, что число I являемся значением интеграла и писать


Интегралы, зависящие от параметра


Если же указанный предел равен бесконечности или вовсе не существует, то будем говорить, что интеграл расходится. Аналогично определяется


Интегралы, зависящие от параметра

если функция f определена на [а; b), интегрируема на [а; b-ξ] при любом 0<δ<b-a и неограниченна в окрестности точки b.

Если же функция f определена на [а; b]{c}, а < с < b, неограниченна в окрестности точки с, но интегрируема на отрезках [а; с-δ] и [с-δ; b] при любом допустимом положительном δ, то определим


Интегралы, зависящие от параметра


Пример 2.5Интегралы, зависящие от параметра сходится при р<1 и расходится при рИнтегралы, зависящие от параметра.

Теорема 2.6 (критерий Коши) Если функция f: (a; b]→R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b] при любом О<δ<δ-a, то Интегралы, зависящие от параметра сходится тогда и только тогда, когда Интегралы, зависящие от параметра такое, что Интегралы, зависящие от параметраа’, а” : а <а’, а” < а + δ. Будет выполняться условие Интегралы, зависящие от параметра

Это утверждение доказывается так же, как и аналогичное утверждение для несобственных интегралов первого рода. Так же вводится понятие абсолютной и условной сходимости и устанавливается соотношение между ними. Так же формулируется и доказывается признак сходимости Вейерштрасса. Интегралы в смысле главного значения

Определение 2.5 Пусть функция f: R→ R, интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, но несобственный интеграл Интегралы, зависящие от параметра не существует. Тогда, если существуетИнтегралы, зависящие от параметра , мо он называется интегралом в смысле главного значения и обозначается символом

(Интегралы, зависящие от параметраp.) Интегралы, зависящие от параметра


Определение 2.6 Пусть функция f: [а;b ]{с} → R, а <с < b, неограниченна в окрестности точки с, интегрируема по Риману на отрезках

[а; с — δ] и [с + δ; b] при любом δ> 0, но Интегралы, зависящие от параметра не существует. Тогда, если существует Интегралы, зависящие от параметра то он называется интегралом в смысле главного значения н обозначаемся символом (Интегралы, зависящие от параметраp.) Интегралы, зависящие от параметра

Пример 2.6 Рассмотрим Интегралы, зависящие от параметра

Решение. Это — расходящийся интеграл второго рода, поскольку показатель степени p =1. Однако


Интегралы, зависящие от параметра


Следовательно, рассматриваемый интеграл существует в смысле главного значения и


(Интегралы, зависящие от параметраp.) Интегралы, зависящие от параметра


Пример 2.7 Рассмотрим Интегралы, зависящие от параметра

Решение. Этот интеграл расходится, так как подынтегральная функция f(х)~Интегралы, зависящие от параметра.

Но Интегралы, зависящие от параметра


Следовательно, этот интеграл существует в смысле главного значения и (Интегралы, зависящие от параметраp.) Интегралы, зависящие от параметра

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть f: [а; b] х Y → R, где [а; b] Интегралы, зависящие от параметра R, Y- любое множество,

а [а; b] х Y = {(х, у): х Интегралы, зависящие от параметра [а; b], уИнтегралы, зависящие от параметраY}. Предположим, что Интегралы, зависящие от параметрафункция f интегрируема по Риману на отрезке [а; b].

Определение 2.7 Функцию


Интегралы, зависящие от параметра (2.1)


определённую на множестве Y при описанных выше условиях, будем называть собственным интегралом, зависящим от параметра. Изучим свойства этого интеграла, ограничившись простейшим случаем:

У = [с; d] Интегралы, зависящие от параметра

Похожие рефераты: