Интегралы, зависящие от параметра
П [а b] х [с; d] = {(х, у): х [а; b], у [с; d]}.
Теорема 2.7 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда функция I(у) непрерывна на отрезке [а; b].
Доказательство. Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Возьмём, поэтому, любое [с; d] и
любое > 0 и покажем, что найдётся > 0 такое, что если у [с; d] и
, то будет выполняться неравенство Прямоугольник П — компактное множество в , поэтому по теореме
Кантора функция f равномерно непрерывна на П, следовательно, по выбранному >0 можно указать такое > 0, что если
то будет выполняться неравенство
Положим х' = х"= х, у' = у, у" =. Тогда
Полученная оценка доказывает не только непрерывность, но и равномерную (поскольку δ не зависит от ) непрерывность функции I(у) на отрезке [а; b].■
Теорема 2.8 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство
(2.2)
Доказательство. Интегрируемость I(у) вытекает из предыдущей теоремы и теоремы об интегрируемости непрерывных функций. Равенство же 2.2 следует из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному. для непрерывной на прямоугольнике П функции существует , который может быть сведен к повторному в любом порядке.
Теорема 2.9 Если функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную на прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство
(2.3)
Доказательство. Так как непрерывна на П, то, используя предыдущую теорему, для любого у [с; d] можем написать равенство
(2.4)
Упростим левую часть равенства 2.4 с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Обозначим через J(η) внутренний интеграл в правой части равенства (2.4). Тогда равенство (2.4) примет вид:
(2.5)
По теореме 2.7 J(η) — непрерывная на [с; d] функция. Но тогда по теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом правая часть равенства (3.5) (следовательно, и левая) дифференцируема на отрезке [с; d]. По той же теореме из равенства (3.5) получаем:
что и требовалось. ■ Рассмотрим теперь более общий случай, когда не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования зависят от параметра. Итак, пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =[а; Ь] х [с; d], интегрируема по х на отрезке [а; b] для каждого у [с; d], функции а (у) и b(у) заданы на отрезке [с; d] и [с; d] выполняется а ≤ а(у) ≤ b(у) ≤ b. Рассмотрим интеграл
(2.6)
Теорема 2.10 Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у), b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством (2.6),непрерывна на [с; d].
Доказательство. Пусть y [с; d]. Покажем, что Для этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.
(2.7)
Здесь интегралы обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый из них в отдельности. Первый из интегралов — интеграл с постоянными пределами вида 2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому
Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что
П.
Но тогда
А так как функция b(у) непрерывна на [с; d], то при , поэтому
Совершенно аналогично доказывается, что и
Таким образом,
что и требовалось доказать.
Теорема 2.11 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П и
имеет на нём непрерывную частную производную , а функции а(у) и
b(у) дифференцируемы на отрезке [с; d]. Тогда функция I(у), определяемая равенством (2.6), дифференцируема на отрезке [с; d] и её производная может быть вычислена по формуле
(2.8)
Доказательство. Поскольку дифференцируемость на промежутке есть дифференцируемость в каждой точке промежутка, то возьмём на отрезке [с; d] и покажем, что I(у) дифференцируема в точке , и что представляется в виде правой части формулы (2.8). Для этого воспользуемся представлением I(у) в виде (2.7) и покажем, что каждое слагаемое
правой части (2.7) дифференцируемо и вычислим его производную. Первый из интегралов в правой части (2.7) имеет постоянные пределы
интегрирования. Его дифференцируемость установлена в теореме 2.9.
Поэтому
(2.9)
Теперь докажем дифференцируемость и вычислим производную второго слагаемого в правой части (2.7). (Отметим, что .) По определению производной
Так как подынтегральная функция непрерывна (по х), то по свойству
определённого интеграла найдётся с = с(у), , такое, что
.
Но тогда
так как первый предел существует по теореме о трёх функциях и в силу непрерывности функции f на прямоугольнике П, а второй — в силу
дифференцируемости функции b(у). Итак,
. (2.10)
Совершенно аналогично доказывается, что третье слагаемое в (2.7) дифференцируемо и что
. (2.11)
Итак, все три слагаемых в правой части равенства (2.7) дифференцируемы в точке , значит, и функция I(у) дифференцируема в точке и . (2.12)
Подставив сюда значения производных (формулы (2.9), (2.10), (2.11)), получим представление (2.8) в точке .■
Замечание 2.3 Условия теорем 2.7 — 2.11 являются достаточными.
декларируемые в теоремах свойства могут выполняться и при нарушении условий этих теорем. Но быть уверенным в их выполнении при нарушении условий теорем нельзя. Рассмотрим соответствующие примеры.
Пример 2.8 Рассмотрим
Решение. Подынтегральная функция на прямой у = х терпит разрыв.
Однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет непрерывную функцию от у на всей вещественной прямой.
1. Пусть у≤ 0. ;
2.Пусть о< у <1. I(у)=
3.Пусть у ≥ 1. Нетрудно убедиться, что функция ‚ I(у) имеет одинаковые пределы
слева и справа в точках у = 0 и у = 1, поэтому непрерывна. Пример 2.9 Рассмотрим
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке (0; 0), однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет интегрируемую
на отрезке [0; 1] функцию.
несобственный интеграл параметр непрерывность
поэтому
Однако попытка проинтегрировать по параметру под знаком интеграла приведёт к иному результату.
■
Пример 2.10 Рассмотрим
Решение. Легко видеть, что интеграл удовлетворяет условиям теоремы 2.11 на любом отрезке [с; d]. Найдём производную I’(y), используя формулу 2.8.
Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть Y — произвольное множество, f: [а; +∞) х Y → R. Предположим, что для каждого у сходится .
Тогда на множестве
Y определена функция
(2.13)
которую будем называть несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.
Равномерная сходимость
Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов.
Определение 2.8 Будем говорить, что интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y, если его остаток равномерно стремится к нулю на этом множестве, то есть, если такое, что выполняется неравенство
(2.14)
Теорема 2.12 (критерий Коши) для того, чтобы интеграл (2.13) сходился равномерно на множестве Y, необходимо и достаточно выполнение следующего условия (условие Коши): , зависящее
только от , такое, что будет выполняться неравенство
(2.15)
Доказательство. Пусть интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y. Тогда, взяв любое > 0, подберем так, чтобы для
любых А> А и у выполнялось неравенство .
Возьмём любые и любое у. Тогда
и необходимость доказана.
Наоборот, если выполнено условие (2.15), то оно выполнено для любого фиксированного у. Но тогда по теореме 2.1 для любого фиксированного у интеграл (2.13) сходится, то есть, для каждого у существует Поэтому, положив в (2.15) и устремив А" к +∞, получим для любого у
что означает равномерную на Y сходимость интеграла (2.13).
Теорема 2.13 (Вейерштрасс) Пусть f: [a, +∞) → R и для любых
А(> а) и у функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; A].
Пусть g : [а; +∞) →R, для всех х [а; +∞), у выполняется неравенство и сходится. Тогда интеграл (2.13) сходится равномерно (и абсолютно) на множестве Y.
Доказательство. По критерию Коши для несобственных интегралов первого рода (см. 2.1) для любого > 0 найдётся такое, что для любых будет выполняться неравенство Но тогда для любого у , для любых имеем:
Остаётся применить теорему 2.12. .
Пример 2.11 Рассмотрим
Решение. Этот интеграл сходится равномерно на R, так как имеет место
Оценка а сходится. ■
Теорема 2.14 (Дирихле) Пусть функции f, g: [а; +∞) х Y→ R и
интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и у.
Тогда сходится равномерно на Y, если выполнены следующие два условия:
1) равномерно ограничен на [а; +∞), то есть, существует постоянная М такая, что для любых А> а и у