Xreferat.com » Рефераты по математике » Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра

height="14" align="BOTTOM" border="0" /> R, и введя обозначение


П [а b] х [с; d] = {(х, у): х Интегралы, зависящие от параметра [а; b], у Интегралы, зависящие от параметра [с; d]}.


Теорема 2.7 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда функция I(у) непрерывна на отрезке [а; b].

Доказательство. Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Возьмём, поэтому, любое Интегралы, зависящие от параметра [с; d] и

любое Интегралы, зависящие от параметра > 0 и покажем, что найдётся Интегралы, зависящие от параметра > 0 такое, что если у Интегралы, зависящие от параметра [с; d] и

Интегралы, зависящие от параметра, то будет выполняться неравенство Интегралы, зависящие от параметра Прямоугольник П — компактное множество в Интегралы, зависящие от параметра, поэтому по теореме

Кантора функция f равномерно непрерывна на П, следовательно, по выбранному Интегралы, зависящие от параметра>0 можно указать такое Интегралы, зависящие от параметра> 0, что если


Интегралы, зависящие от параметра


то будет выполняться неравенство


Интегралы, зависящие от параметра


Положим х' = х"= х, у' = у, у" =Интегралы, зависящие от параметра. Тогда


Интегралы, зависящие от параметра


Полученная оценка доказывает не только непрерывность, но и равномерную (поскольку δ не зависит от Интегралы, зависящие от параметра ) непрерывность функции I(у) на отрезке [а; b].■

Теорема 2.8 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство


Интегралы, зависящие от параметра (2.2)


Доказательство. Интегрируемость I(у) вытекает из предыдущей теоремы и теоремы об интегрируемости непрерывных функций. Равенство же 2.2 следует из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному. для непрерывной на прямоугольнике П функции существует Интегралы, зависящие от параметра, который может быть сведен к повторному в любом порядке.

Теорема 2.9 Если функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную Интегралы, зависящие от параметра на прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство


Интегралы, зависящие от параметра (2.3)


Доказательство. Так как Интегралы, зависящие от параметра непрерывна на П, то, используя предыдущую теорему, для любого у Интегралы, зависящие от параметра [с; d] можем написать равенство


Интегралы, зависящие от параметра (2.4)


Упростим левую часть равенства 2.4 с помощью формулы Ньютона-Лейбница.


Интегралы, зависящие от параметра


Обозначим через J(η) внутренний интеграл в правой части равенства (2.4). Тогда равенство (2.4) примет вид:


Интегралы, зависящие от параметра (2.5)


По теореме 2.7 J(η) — непрерывная на [с; d] функция. Но тогда по теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом правая часть равенства (3.5) (следовательно, и левая) дифференцируема на отрезке [с; d]. По той же теореме из равенства (3.5) получаем:

Интегралы, зависящие от параметра


что и требовалось. ■ Рассмотрим теперь более общий случай, когда не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования зависят от параметра. Итак, пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =[а; Ь] х [с; d], интегрируема по х на отрезке [а; b] для каждого у Интегралы, зависящие от параметра [с; d], функции а (у) и b(у) заданы на отрезке [с; d] и Интегралы, зависящие от параметра [с; d] выполняется а ≤ а(у) ≤ b(у) ≤ b. Рассмотрим интеграл


Интегралы, зависящие от параметра (2.6)


Теорема 2.10 Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у), b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством (2.6),непрерывна на [с; d].

Доказательство. Пусть y Интегралы, зависящие от параметра [с; d]. Покажем, что Интегралы, зависящие от параметраДля этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.


Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра (2.7)


Здесь интегралы обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый из них в отдельности. Первый из интегралов — интеграл с постоянными пределами вида 2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому Интегралы, зависящие от параметра

Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что


Интегралы, зависящие от параметраП.


Но тогда


Интегралы, зависящие от параметра


А так как функция b(у) непрерывна на [с; d], то Интегралы, зависящие от параметра при Интегралы, зависящие от параметра, поэтому Интегралы, зависящие от параметра

Совершенно аналогично доказывается, что и Интегралы, зависящие от параметра

Таким образом,


Интегралы, зависящие от параметра


что и требовалось доказать.

Теорема 2.11 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П и

имеет на нём непрерывную частную производную Интегралы, зависящие от параметра , а функции а(у) и

b(у) дифференцируемы на отрезке [с; d]. Тогда функция I(у), определяемая равенством (2.6), дифференцируема на отрезке [с; d] и её производная может быть вычислена по формуле


Интегралы, зависящие от параметра (2.8)

Доказательство. Поскольку дифференцируемость на промежутке есть дифференцируемость в каждой точке промежутка, то возьмём Интегралы, зависящие от параметра на отрезке [с; d] и покажем, что I(у) дифференцируема в точке Интегралы, зависящие от параметра, и что Интегралы, зависящие от параметра представляется в виде правой части формулы (2.8). Для этого воспользуемся представлением I(у) в виде (2.7) и покажем, что каждое слагаемое

правой части (2.7) дифференцируемо и вычислим его производную. Первый из интегралов в правой части (2.7) имеет постоянные пределы

интегрирования. Его дифференцируемость установлена в теореме 2.9.

Поэтому


Интегралы, зависящие от параметра (2.9)


Теперь докажем дифференцируемость и вычислим производную второго слагаемого в правой части (2.7). (Отметим, что Интегралы, зависящие от параметра.) По определению производной


Интегралы, зависящие от параметра


Так как подынтегральная функция непрерывна (по х), то по свойству

определённого интеграла найдётся с = с(у), Интегралы, зависящие от параметра , такое, что


Интегралы, зависящие от параметра.

Но тогда


Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра


так как первый предел существует по теореме о трёх функциях и в силу непрерывности функции f на прямоугольнике П, а второй — в силу

дифференцируемости функции b(у). Итак,


Интегралы, зависящие от параметра. (2.10)


Совершенно аналогично доказывается, что третье слагаемое в (2.7) дифференцируемо и что


Интегралы, зависящие от параметра. (2.11)


Итак, все три слагаемых в правой части равенства (2.7) дифференцируемы в точке Интегралы, зависящие от параметра, значит, и функция I(у) дифференцируема в точке Интегралы, зависящие от параметра и Интегралы, зависящие от параметра. (2.12)

Подставив сюда значения производных (формулы (2.9), (2.10), (2.11)), получим представление (2.8) в точке Интегралы, зависящие от параметра.■

Замечание 2.3 Условия теорем 2.7 — 2.11 являются достаточными.

декларируемые в теоремах свойства могут выполняться и при нарушении условий этих теорем. Но быть уверенным в их выполнении при нарушении условий теорем нельзя. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 2.8 Рассмотрим Интегралы, зависящие от параметра

Решение. Подынтегральная функция на прямой у = х терпит разрыв.

Однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет непрерывную функцию от у на всей вещественной прямой.

1. Пусть у≤ 0. Интегралы, зависящие от параметра;

2.Пусть о< у <1. I(у)=Интегралы, зависящие от параметра

3.Пусть у ≥ 1. Интегралы, зависящие от параметра Нетрудно убедиться, что функция ‚ I(у) имеет одинаковые пределы

слева и справа в точках у = 0 и у = 1, поэтому непрерывна. Пример 2.9 Рассмотрим Интегралы, зависящие от параметра

Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке (0; 0), однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет интегрируемую

на отрезке [0; 1] функцию.

несобственный интеграл параметр непрерывность

Интегралы, зависящие от параметра


поэтому


Интегралы, зависящие от параметра


Однако попытка проинтегрировать по параметру под знаком интеграла приведёт к иному результату.


Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра

Пример 2.10 Рассмотрим Интегралы, зависящие от параметра

Решение. Легко видеть, что интеграл удовлетворяет условиям теоремы 2.11 на любом отрезке [с; d]. Найдём производную I’(y), используя формулу 2.8.


Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра


Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть Y — произвольное множество, f: [а; +∞) х Y → R. Предположим, что для каждого у Интегралы, зависящие от параметрасходится Интегралы, зависящие от параметра.

Тогда на множестве

Y определена функция


Интегралы, зависящие от параметра (2.13)


которую будем называть несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.

Равномерная сходимость

Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов.

Определение 2.8 Будем говорить, что интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y, если его остаток равномерно стремится к нулю на этом множестве, то есть, если Интегралы, зависящие от параметра такое, что Интегралы, зависящие от параметравыполняется неравенство


Интегралы, зависящие от параметра (2.14)


Теорема 2.12 (критерий Коши) для того, чтобы интеграл (2.13) сходился равномерно на множестве Y, необходимо и достаточно выполнение следующего условия (условие Коши): Интегралы, зависящие от параметра, зависящее

только от Интегралы, зависящие от параметра, такое, что Интегралы, зависящие от параметра будет выполняться неравенство


Интегралы, зависящие от параметра (2.15)


Доказательство. Пусть интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y. Тогда, взяв любое Интегралы, зависящие от параметра > 0, подберем Интегралы, зависящие от параметра так, чтобы для

любых А> АИнтегралы, зависящие от параметра и уИнтегралы, зависящие от параметра выполнялось неравенство Интегралы, зависящие от параметра.

Возьмём любые Интегралы, зависящие от параметра и любое уИнтегралы, зависящие от параметра. Тогда


Интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра


и необходимость доказана.

Наоборот, если выполнено условие (2.15), то оно выполнено для любого фиксированного уИнтегралы, зависящие от параметра. Но тогда по теореме 2.1 для любого фиксированного у Интегралы, зависящие от параметра интеграл (2.13) сходится, то есть, для каждого у Интегралы, зависящие от параметра существует Интегралы, зависящие от параметра Поэтому, положив в (2.15) Интегралы, зависящие от параметраи устремив А" к +∞, получим для любого у Интегралы, зависящие от параметра


Интегралы, зависящие от параметра


что означает равномерную на Y сходимость интеграла (2.13).

Теорема 2.13 (Вейерштрасс) Пусть f: [a, +∞) → R и для любых

А(> а) и уИнтегралы, зависящие от параметра функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; A].

Пусть g : [а; +∞) →R, для всех х Интегралы, зависящие от параметра [а; +∞), у Интегралы, зависящие от параметра выполняется неравенство Интегралы, зависящие от параметра и Интегралы, зависящие от параметра сходится. Тогда интеграл (2.13) сходится равномерно (и абсолютно) на множестве Y.

Доказательство. По критерию Коши для несобственных интегралов первого рода (см. 2.1) для любогоИнтегралы, зависящие от параметра > 0 найдётся Интегралы, зависящие от параметратакое, что для любых Интегралы, зависящие от параметра будет выполняться неравенство Интегралы, зависящие от параметра Но тогда для любого уИнтегралы, зависящие от параметра , для любыхИнтегралы, зависящие от параметра имеем:


Интегралы, зависящие от параметра


Остаётся применить теорему 2.12. .

Пример 2.11 Рассмотрим Интегралы, зависящие от параметра

Решение. Этот интеграл сходится равномерно на R, так как имеет место

Оценка Интегралы, зависящие от параметра а Интегралы, зависящие от параметра сходится. ■

Теорема 2.14 (Дирихле) Пусть функции f, g: [а; +∞) х Y→ R и

интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и уИнтегралы, зависящие от параметра.

Тогда Интегралы, зависящие от параметра сходится равномерно на Y, если выполнены следующие два условия:

1)Интегралы, зависящие от параметра равномерно ограничен на [а; +∞), то есть, существует постоянная М такая, что для любых А> а и у Интегралы, зависящие от параметра


Интегралы, зависящие от параметра

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: