Интегралы, зависящие от параметра

2)функция у(х, у) монотонно по х при каждом у и равномерно по у стремимся к нулю при х→+∞.

Доказательство. Доказательство этой теоремы такое же, как и доказательство теоремы 2.4, нужно лишь проследить, чтобы все оценки выполнялись равномерно по параметру. По первому условию существует постоянная М такая, что для всех

A> а и у имеет место оценка:

(2.16)

По второму условию для любого > 0 найдётся (> а) такое, что

для любых А> и у выполнено

(2.17)

Возьмём и применим к интегралу вторую теорему о среднем значении (только на этот раз в общем виде, поскольку неизвестен знак g(х, у)), согласно которой найдётся А = А(у), А [А’, А”], такое, что

(2.18)

Оценим (2.18) с помощью (2.16) и (2.17).

для любого у из множества Y. Используя критерий Коши, получаем требуемое утверждение. ■

Теорема 2.15 (Абель) Пусть функции f, g : [а; +∞) х Y→R и

интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и у. Тогда сходимся равномерно на Y, если выполнены следующие два условия:

1) сходимся равномерно на множестве Y;

2)функция g(х, у) монотонна по х при каждом у и равномерно

по у ограничена, то есть, существует постоянная М такая, что

для всех х [а; +∞) и у.

Пример 2.12 Рассмотрим , где b> 0 постоянная, а параметр а удовлетворяет условию

Решение. Положим f(x,a)= sinax, g(x,a) Тогда

при х → +∞, и это условие (ввиду независимости функции g от а) выполнено равномерно по а. Так как оба условия признака Дирихле выполнены, то рассматриваемый интеграл сходится равномерно в указанной области.

Пример 2.13 Рассмотрим (a≥0)

Решение. Положим f(x, а) = , g(х, а) = . Так как

сходится равномерно по а (ввиду его отсутствия) по признаку Дирихле, а функция , очевидно, монотонна по х и при х ≥ 0, у ≥0 ограничена, то рассматриваемый интеграл сходится равномерно в указанной области по признаку Абеля. 2.4 Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.

Изучим свойства несобственных интегралов первого рода, зависящих от параметра, ограничившись простейшим случаем: множество Y есть отрезок [с; d] вещественной оси. Введём обозначение

и докажем предварительно следующую лемму.

Лемма 2.1 Если интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y

то последовательность функций

,() (2.19)

тоже равномерно сходится на множестве Y к функции I(y).

Теорема 2.16 Если функция f(x, у) определена и непрерывна на П, а интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d], мо функция I(у), определяемая этим интегралом, непрерывна на [с; d].

Доказательство. По теореме 2.7 функции I(y) (n N) непрерывны на отрезке [с; d]. По лемме 2.1 последовательность функций I(y) (n N) сходится равномерно на отрезке [с; d] к функции ‚I(у). Но тогда по теореме о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций функция I(у) непрерывна на отрезке [с; d].

Следующая теорема является в некотором роде обратной к предыдущей.

Теорема 2.17 (Дини) Если функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна П, а функция I(у), определяемая интегралом (2.13), непрерывна на отрезке [с; d], то интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d].

Доказательство. По теореме 2.7 функции I(y) (n N) (см. (2.19)) непрерывны на отрезке [с; d]. Так как функция f(x, у) неотрицательна, то последовательность функций I(y) (n N) монотонно не убывает.

Но тогда, поскольку предельная функция ‚I(у) этой последовательности тоже непрерывна, к ней можно применить теорему Дини для последовательностей, согласно которой последовательность I (у) сходится к функции I(у) равномерно на отрезке [с; d]. Последнее означает, что для любого > 0 найдётся номер n такой, что при n > n для всех у [с; d] справедливо неравенство .

Положим и возьмём . Тогда, учитывая неотрицательность функции f(x, y), для всех у получаем:

и равномерная сходимость интеграла доказана.

Теорема 2.18 Если функция f(x, у) определена и непрерывна на а интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d], то функция I(у), определяемая этим интегралом, интегрируема на [с; d] и справедливо равенство

(2.20)

Доказательство. Снова рассмотрим последовательность I(у). По лемме 2.1 она сходится равномерно на отрезке [с; d] к функции I(у), а по теореме 2.8 функции последовательности интегрируемы на отрезке [с; d].

Тогда по теореме об интегрируемости предельной функции равномерно

сходящейся последовательности функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и

Возможность изменения порядка интегрирования следует из той же теоремы 2.8.

Теорема 2.19 Ecли функция f(x, у) непрерывна на множестве П и

имеет на нём непрерывную частную производную (х, y), интеграл (2.13) сходится, а интеграл

(2.21)

сходится равномерно на [с; d], то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство

(2.22)

Доказательство. Рассмотрим последовательность функций I(y). По условию теоремы эта последовательность сходится на отрезке [с; d] (поскольку сходится интеграл (2.13)). По теореме 2.9 функции I(у) ( N) дифференцируемы на отрезке [с; d], а по лемме 2.1 последовательность производных I(у) сходится на этом отрезке равномерно. Но тогда по теореме о дифференцируемости предельной функции равномерно сходящейся последовательности функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d]

В некоторых случаях бывает необходимо изменить порядок интегрирования, когда и переменная х и параметр у изменяются на бесконечных промежутках. Пусть

Теорема 2.20 Пусть функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна на К. Интегралы

(2.23)

оба сходятся и являются непрерывными функциями соответственно на [с; +∞) и [а; +∞). Тогда равенство

(2.24)

справедливо при условии существования одного из повторных интегралов.

Доказательство. Допустим, что существует левый из интегралов в равенстве (2.24). Покажем, что в таком случае существует и правый интеграл, и что они равны. Для этого достаточно установить, что для любого

с > 0 найдётся А такое, что для любого А> А будет выполняться неравенство

(2.25)

Преобразуем левую часть (2.25). Так как для интеграла

выполнены условия теоремы Дини (теорема 2.17), то он равномерно сходится на любом сегменте [а; А], следовательно по теореме 2.18

Поэтому

где число С пока не определено.

Выберем > О и оценим оба последних интеграла. Так как

сходится, найдётся С такое, что для любого С> С будет иметь место неравенство

Но тогда, ввиду неотрицательности функции f (x, y), каково бы ни было

А ≥ а, и

(2.26)

Выберем и зафиксируем С > С и оценим первый интеграл. По теореме Дини сходится равномерно на отрезке [с; С],

поэтому существует такое, что если А> , то для любого у [с; С]

Поэтому

(2.27)

Оценка (2.25) получена, следовательно, теорема доказана. ■

Вычисление интегралов, зависящих от параметра Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра α:

Укажем без доказательства, что если функция f(x,α) непрерывна по x на отрезке , то функция

Является непрерывной функцией на отрезке . Следовательно, функцию I(α) можно интегрировать по α на отрезке:

Выражение, стоящее справа, есть двукратный интеграл от функции f(x,α) по прямоугольнику, расположенному в плоскости Oxα. Можно изменить порядок интегрирования в этом интеграле:

Эта формула показывает, что для интегрирования интеграла, зависящего от параметра α, достаточно проинтегрировать по параметру α подынтегральное выражение. Эта формула также бывает полезна при вычислении определенных интегралов.

Так как существует конечный то интеграл J существует и сходится (по определению), причем .▲

Пример2.15 Вычислить интеграл

Неопределенный интеграл от подынтегральной функции не берется в элементарных функциях. Для его вычисления рассмотрим другой интеграл, который можно легко вычислить:

(α>0).

Интегрируя это равенство в пределах от α=a до α=b, получим

Меняя порядок интегрирования в первом интеграле, перепишем это равенство в следующем виде:

Откуда, вычисляя внутренний интеграл, получаем

■

Литература

Тер-Крикоров А.М., Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. -2-е изд, М.:Физмалит: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов.т.2,13-е изд. М.: Наука , Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа. Части 1,2, М.: Наука, 1971, 1973.

Рудин У., Основы математического анализа, М.: Мир, 1966.

Зорич В.А., Математический анализ. Части 1,2, М.: Наука, 1981, 1984.

Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа. Тома 1.2, М.: Наука, 1968.

Размещено на