Высшая математика. Матрица
Х = 14/16 4/16 6/16 * -1*16 2*16 3*16 =
-1/16 -6/16 -5/16 0*16 -1*16 2*16
-11*1+(-2*(-1))+(-7*0) -11*1+(-2*2)+(-7*(-1)) -11*(-1)+(-2*3)+(-7*2)
= 14*1+4*(-1)+6*0 14*1+4*2+6*(-1) 14*(-1)+4*3+6*2 =
-1*1+(-6*(-1))+(-5*0) -1*1+(-6*2)+(-5*(-1))
-1*(-1)+(-6*3)+(-5*2)
-9 -8 -9
= 10 16 10
5 -8 -27
Ответ : Х = : -9 , -8 , -9 : 10 , 16 , 10 : 5 , -8 , -27 .
4(4П5).При
каком значении
параметра p
, если он существует
,
1 2 -2 1
последняя строка матрицы А = 2 -3 3 2 является линейной комбинацией первых
1 -1 1 2
8 -7 p 11
трёх строк?
Решение :
Вычислим det A:
1 2 -2 1
1 2 -2 1 -7 7 0
-7 7 0
det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 =
1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23 -16-p -3 14 -7-p 0
8 -7 p 11 0 23 -16-p -3
-1*(-1)
2+3
* -7 7 = 49 + 7p –
98 = 7p - 49
14 -7-p
Если det A=0 , то ранг матрицы А равен двум , т.е. 7p – 49 = 0 , p = 7.
Третья строка по теореме о базисном миноре является комбинацией первых двух .
Обозначим коэффициенты этой комбинации через λ1 и λ2 , λ3 ,тогда (8,-7,7,11) = λ1(1,2,-2,1)+ + λ2 (2,-3,3,2) + λ3 (1,-1,1,2);
Имеем
систему : λ1
+ 2λ2
+ λ3 = 8 * 2
2λ1- 3λ2 - λ3 = -7
-2λ1 + 3λ2 + λ3 = 7
λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 11
Решим данную систему методом Гаусса :
λ1
+
2λ2 +
λ3
= 8 1) λ3 =
3
7λ2 + 3λ3 = 23 2) 7λ2 + 9 = 23
7λ2 + 3λ3 = 23 7λ2 = 14
λ3 = 3 λ2 = 2
3) λ1 + 2*2 + 3 =8
λ1 = 1
коэффициенты линейных комбинаций λ1 = 1 ; λ2 = 2 ; λ3 = 3 ;
Ответ : (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2) .
5. Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора f1(1,1,1) , f2 (1,2,3) , f3 (1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f1, f2 , f3 можно принять за новый базис в R3 . (ТР0.РП) . Найдите координаты вектора x в базисе fi .
Составим определитель из компонент векторов и f1, f2 , f3 вычислим его :
1 1 1 1 1 1
∆
= 1 2 3 = 0 1 2 = 1*(-1)1+1
* 1 2 = 5 – 4 = 1
1 3 6 0 2 5 2 5
Так как ∆ ≠ 0 , то векторы f1, f2 , f3 образуют базис трёхмерного пространства R3
Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений :
х1 + х2 + х3
= 4 *(-1)
х1 + 2х2 + 3х3 = 7
х1 + 3х2 + 6х3 = 10
х1 + х2 + х3
= 4
х2 + 2х3 = 3
*(-2)
2х2 + 5х3 = 6
х1 + х2 + х3
= 4 1) х3 = 0 3) х1
+ 3 + 0 = 4
х2 + 2х3 = 3 2) х2 + 0 = 3 х1 = 4 - 3