Высшая математика. Матрица
[BC ,CD] = 0 1 -1 = i (2 – 3) – j (0 –2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k .
-2 -3 2
Пусть [BC ,CD] = а , тогда а = ( -1 ; 2 ; 2 )
ПрBD а = ( BD , a ) /| BD |
( BD , a ) = -2*( -1 ) – 2*2 + 1*2 = 2 –4 + 2 = 0 .
ПрBD а = 0 .
Ответ : ПрBD а = 0 .
11. Линейный оператор А действует в R3 → R3 по закону Ax = (- х1 + 2х2 + x3 , 5х2 , 3х1 + 2х2 + х3 ), где х( х1, х2, х3 ) – произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе . Докажите , что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А .(Т56). Найдите собственное число λ0 , соответствующее вектору х . (Д25.РП). Найдите другие собственные числа , отличные от λ0 . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку .
Решение :
Ax = (- х1 + 2х2 + x3 ; 5х2 ; 3х1 + 2х2 + х3 )
Найдём матрицу в базисе l1 , l2 , l3
A l1 = (-1 ; 2 ;1)
A l2 = (0 ; 5 ; 0)
A l3 = (3 ; 2 ; 1)
-1 2 1
A = 0 5 0
3 2 1 .
Докажем , что вектор х = (1 ,0 ,3) является собственным для матрицы А.
Имеем
-1 2 1 1 -1 + 0 + 3
2 1
Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0
3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3 .
Отсюда следует , что вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 .
Составляем характеристическое уравнение :
-1 – λ
2 1
0 5 – λ 0 = 0
3 2 1 – λ
(5 – λ)*((-1 – λ)*(1 – λ) – 3) = 0
5 – λ = 0 или λ2 –1 – 3 = 0
λ2 = 4
λ = ±2
λ1 = 2 , λ2 = -2 , λ3 = 5 .
Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу λ = -2.
х1 + 2х2 + х3
= 0 х2 = 0
7х2 = 0
3х1 + 2х2 + 3х3 = 0
х1 + х3 = 0
х1 = -х3
3х1 + 3х3 = 0
Пусть х3 = 1 ,тогда х1 = -1 , имеем собственный вектор х1 = (-1 ;0 ;1) .
Проверка
:
-1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1
A = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = -2 * 0
3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1
Следовательно , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2.
Найдём собственный вектор для λ = 5
-6х1
+ 2х2 + х3 = 0
3х1 + 2х2 - 4х3 = 0
-9х1 + 5х3 = 0
х1 = 5/9 х3
-6*(5/9 х3) + 2х2 + х3 = 0
-10/3 х3 + х3 + 2х2 = 0
2х2 = 7/3 х3
х2 = 7/6 х3 .
Пусть х3 = 18 , тогда х1 = 10 , х2 = 21 .
Вектор х2 = (10 ;21 ;18) собственный вектор .
Проверка
-1 2 1 10 -10 + 42 + 18 50 10
A = 0 5 0 * 21 = 0 + 105 + 0 = 105 = 5 * 21
3 2 1 18 30 + 42 + 18 90 18 .
Следовательно , х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .
Ответ : матрица в каноническом базисе : -1 , 2 , 1 : 0 , 5 , 0 : 3 , 2 , 1; вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу λ = 2 , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу λ = -2 , х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу λ = 5 .
12(Д01.РП).Составьте общее уравнение прямой , проходящей через точку М(1,4) параллельно прямой 2х + 3y + 5 = 0.
Решение :
Найдём угловой коэффициент прямой 2х + 3y + 5 = 0.
3y = -2x –5
y = -2/3 x – 5/3
κ = -2/3
Так как исходная прямая параллельна данной , то её угловой коэффициент равен κ = -2/3 .
Уравнение прямой имеющей угловой коэффициент κ и проходящей через точку М(х0,y0) записывается в виде
y – y0 = κ(x – x0).
Имеем
y – 4 = -2/3 (x – 1)
3y – 12 = -2x + 2
2х + 3y - 14 = 0.
Ответ : 2х + 3y - 14 = 0 – уравнение искомой прямой .
13(3А2.РП).Найдите координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0.
Решение :
Пусть N – проекция точки М на данную прямую .
Составим уравнение прямой MN угловой коэффициент заданной прямой х + 2y – 10 = 0 равен κ1 = -1/2 , тогда угловой коэффициент прямой MN равен κ2 = 2 .
Тогда уравнение MN имеет вид y – y0 = 2(x – x0) .
Для определения координат точки N решим систему уравнений
х + 2y – 10 = 0
y – y0 = 2(x – x0) , x0 = 3 , y0 = 6 .
х + 2y – 10 = 0 2х + 4y –
20 = 0
y – 6 = 2(x – 3) -2х + y = 0
4y = 20
y = 4
2х = y
х = Ѕ y
х = Ѕ * 4 = 2
х = 2 .
