Высшая математика. Матрица
Ответ : координаты проекции точки М(3,6) на прямую х + 2y – 10 = 0 N(2,4).
14(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости , походящей через три заданные точки M1(-6,1,-5) , M2(7,-2,-1) , M3(10,-7,1) .
Решение :
Уравнение плоскости , проходящей через 3 точки имеет вид
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0
x3-x1 y3-y1 z3-z1
x-6
y-1 z+5
7+6 -2-1 -1+5 = 0
10+6 -7-1 1-5
x-6
y-1 z+5
13 -3 4 = 0
16 -8 -4
(x
–6)* -3 4 - (y – 1)* 13 4 + (z + 5)*
13 -3 = (x –6)*(12+32) – (y –
1)*(-52-64)+
-8 -4 16 -4 16 -8
+ (z + 5)*(-104+48) = 0
(x –6)*44 - (y – 1)*(-116) + (z + 5)*(-56) = 0
11*(x –6) + 29*(y – 1) – 14*(z + 5) = 0
11x – 66 + 29y – 29 – 14z – 70 = 0
11x + 29y – 14z – 165 = 0 .
Ответ : общее уравнение плоскости 11x + 29y – 14z – 165 = 0 .
15.Дана кривая 4x2 – y2 – 24x + 4y + 28 = 0 .
8.1.Докажите , что эта кривая – гипербола .
8.2 (325.Б7).Найдите координаты её центра симметрии .
8.3 (Д06.РП).Найдите действительную и мнимую полуоси .
8.4 (267.БЛ). Запишите уравнение фокальной оси .
8.5. Постройте данную гиперболу .
Решение :
Выделим полные квадраты
4(x2 – 6x + 9) – 36 – (y2 – 4y + 4) + 4 + 28 = 0
4(x – 3)2 – (y – 2)2 – 4 = 0
4(x – 3)2 – (y – 2)2 = 4
((x – 3)2/1) – ((y – 2)2/4) = 1
Положим x1 = x – 3 , y1 = y – 2 , тогда x12/1 – y12/4 =1 .
Данная кривая является гиперболой .
Определим её центр
x1 = x – 3 = 0 , x = 3
y1 = y – 2 = 0 , y = 2
(3 ; 2) - центр .
Действительная полуось a =1 .
Мнимая полуось b =2 .
Уравнение асимптот гиперболы
y1 = ± b/a x1
(y – 2) = (± 2/1)*(x – 3)
y –2 = 2x – 6 и y – 2 = -2(x – 8)
2x – y – 4 = 0 2x + 2y – 8 = 0
x + y – 4 = 0 .
Определим фокусы гиперболы
F1(-c ; 0) , F2(c ; 0)
c2 = a2 + b2 ; c2 = 1 + 4 = 5
c = ±√5
F1(-√5; 0) , F2(√5 ; 0).
F1′(3 - √5; 2) , F2′ (3 + √5; 2).
Уравнение F1′ F2′ (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2
Ответ: (3 ; 2) , действительная полуось a =1 , мнимая полуось b =2, (x – 3 + √5) / (3 + √5 – 3 + √5) = (y – 2) /(2 – 2) ; y = 2 .
16.Дана кривая y2 + 6x + 6y + 15 = 0.
16.1.Докажите , что эта кривая – гипербола .
16.2(058.РП). Найдите координаты её вершины .
16.3(2П9). Найдите значения её параметра p .
16.4(289.РП). Запишите уравнение её оси симметрии .
16.5.Постройте данную параболу .
Решение :
Выделим полный квадрат при переменной y
(y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0
(y + 3)2 = - 6(x + 1) .
Положим y1 = y + 3 , x1 = x + 1 .
Получим
y12 = ±6x1 .
Это уравнение параболы вида y2 = 2px , где p = -3 .
Данная кривая является гиперболой .
Так как p<0 , то ветви параболы в отрицательную сторону. Координаты вершины параболы y + 3 = 0 x + 1 = 0
y = -3 x = -1
(-1 ; -3) – вершина параболы .
Уравнение оси симметрии y = -3.
Ответ : (-1 ; -3) – вершина параболы , p = -3 , уравнение оси симметрии y = -3 .
21