Xreferat.com » Рефераты по математике » Высшая математика

Высшая математика

0. Положим С =∙ R2 ,где R > 0 — другая произвольная постоянная. Тогда

у2 + х2 = R2.


3). Разрешим, предыдущее уравнение относительно у и найдём область определения решения:

Рис. к задаче 6.



D(у) =>0. Графики решений — дуги концентрических окружностей произвольного радиуса с центром в на­чале координат (см. рис.).

4). В данном случае, уравнение не имеет решений. Поэтому решений вида

y = а нет.




Линейные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида


(7) у" + by' + су=0,


где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным диф­ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи­циентами. Общее решение этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта

характеристического уравнения


. (8) k2 + bk + c = 0


имеют следующий вид:

A) если D > 0, где k =α, к=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения (8);

Б) , если D = О,

где α— единственный корень характеристического уравнения;

B) если D < О,

где

Общее решение линейного неоднородного дифференциаль­ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами


(9)


является суммой некоторого его частного решения и общего решения

. однородного уравнения (7), т. е.



Многочлен называют характеристическим мно­гочленом дифференциального уравнения (7).

В тех случаях, когда представляет собой многочлен, функцию

,частное решение удаётся найти подбором с помощью следующей таблицы.

1. :

корни характеристического

многочлена

частное решение

2. если


первая часть

частное решение


3.



Задача 7. Найти частное решение дифференциального урав­нения удовлетворяющее началь­ным условиям у (0) = 1, у'(0) = 2.

Решение. 1). Характеристического уравнение:

Так как D = — 16, используем формулу В):

Общее решение однородного уравнения:



2). Так как правая часть многочлен второй степени, частное решение неоднородного уравнения бу­дем искать в виде многочлена 2-ой степени с неопределёнными коэффициентами:



Подставляя у = в данное в задаче уравнение, получаем:





Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, нахо­дим:

Отсюда поэтому общее решение неоднородного уравнения имеет вид

3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:



Напомним, что число n! (читается «эн-факториал»)- это произведение всех натуральных чисел от единицы до :


!=


При вычислениях с факториалами представляется важным следующее соображение:




и т.д.


Признак Даламбера. Если существует предел

То числовой ряд сходится при и расходится при

ЗАДАЧА 8. Исследовать сходимость ряда


Решение: .



Вычисляем предел



Таблицы и формулы.


1. Производные основных элементарных функций

1). Производная константы равна нулю:

2). где а — любое не равное нулю действительное число. В частности,



3). Показательная и логарифмическая функции.



4) Тригонометрические функции



5) Обратные тригонометрические функции


2. Производные некоторых сложных функций:



3.Правила дифференцирования:



Константы можно выносить за знак производной:



Производная суммы равна сумме производных:







Пусть сложная функция, и


Тогда:


9. Интегрирование, также как и операция дифференцирования , операция вычисления пределов, является линейной; то есть, константы можно выносить за знак интеграла, и интеграл суммы функций равен сумме интегралов. Линейность операции интегрирования можно выразить формулой:


10. Таблица основных неопределенных интегралов:





11). при

11. Замена переменных (метод подстановки):

Если Эта формула позволяет интегрировать произведения, одним из сомножителей которых служит сложная функция


12. Интегрирование по частям:

13. Интегрирование простейших дробей:





14. Если F(x)- первообразная, вычисляемая как неопределенный интеграл с С=0.


30

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.
Страницы: 1 2

Похожие рефераты:

  • Функции и их производные

    Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.

  • Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

    Моменты и центры масс плоских кривых. Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности.

  • Общий курс высшей математики

    Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Вычисление площади ромба. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Нахождение производной функции и асимптот графика. Правила дифференцирования частного произведения и сложной функции.

  • Дифференциальные уравнения

    Определение длины стороны треугольника, нахождение координаты вектора в заданном трехмерном базисе, решение системы уравнений с помощью обратной матрицы, вычисление предельных значений, исследование функции методами дифференциального исчисления.

  • Решение задач по высшей математике

    Алгоритм решения задач по теме "Матрицы". Исследование на совместность системы линейных алгебраических уравнений, пример их решения по правилу Крамера. Определение величины угла при вершине в треугольнике, длины вектора. Исследование сходимости рядов.

  • Анализ дифференциальных уравнений

    Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.

  • Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

    Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.

  • Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

    Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.

  • Матрицы. Дифференциальные уравнения

    Векторы на плоскости и в пространстве. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Необходимые формулы для решения задач о касательной. Метод наименьших квадратов. Необходимые определения и формулы для вычисления интегралов. Производные элементарных функций.

  • Дифференциальные уравнения

    Основные понятия и определения.

  • Двойные интегралы и дифференциальные уравнения второго порядка

    Область, ограниченная ветвью гиперболы, расположенной в первой четверти и прямой. Сведение двойных интегралом к повторному. Неоднородное дифференциальное уравнение. Сумма решений соответствующего однородного и любого частного решения уравнения.

  • Дифференциальное исчисление функций

    Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.

  • Дифференцирование. Интегрирование

    Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.

  • Интеграл дифференциального уравнения

    Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.

  • Аналитическая математика

    Уравнения, системы линейных, квадратных и третьей степени уравнений. Уравнения высших степеней сводящиеся к квадратным. Системы уравнений, три переменные. График квадратичной функции, пределы, производные. Интегральное счисление и примеры решения задач.

  • Высшая математика

    Решение задач по высшей математике.

  • Системы линейных и дифференциальных уравнений

    Матричные уравнения, их решение и проверка. Собственные числа и собственные векторы матрицы А. Решение системы методом Жорданa-Гаусса. Нахождение пределов и производных функции, ее градиент. Исследование функции методами дифференциального исчисления.

  • Математические уравнения и функции

    Определение точки пересечения высот треугольника и координат вектора. Сущность базиса системы векторов и его доказательство. Определение производных функций, исследование ее и построение графика. Неопределенные интегралы и их проверка дифференцированием.

  • Матанализ

    1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид...

  • Определение интегралов

    Расчет неопределенных интегралов, проверка результатов дифференцированием. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл. Вычисление площади фигуры, ограниченной заданной параболой и прямой. Общее решение дифференциального уравнения.