Xreferat.com » Рефераты по математике » Предельные теоремы. Характеристические функции

Предельные теоремы. Характеристические функции

1. Теорема Чебышева


Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений. Если явление носит единичный характер, то теория вероятностей не может предсказать исход события.

Иное дело, когда явление – массовое. Закономерности проявляются именно при большом числе случайных событий, происходящих в однородных условиях.

При большом числе испытаний характеристики случайных событий и случайных величин практически мало изменяются, т.е. становятся неслучайными. Это обстоятельство позволяет использовать результаты наблюдений над случайными явлениями для предсказания результатов будущих испытаний.

В дальнейшем мы ознакомимся с двумя типами предельных теорем: законом больших чисел и центральной предельной теоремой. Закон больших чисел играет очень важную роль в практическом применении теории вероятностей к явлениям природы и техническим процессам, связанных с массовым производством.

Для доказательства этих теорем воспользуемся неравенством Чебышева.

Пусть mx и Dx – математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х.

Тогда неравенство Чебышева гласит: вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет по абсолютной величине не меньше любого положительного числа Предельные теоремы. Характеристические функции, ограничена величиной Предельные теоремы. Характеристические функции, т.е.


Предельные теоремы. Характеристические функции

Доказательство. Пусть Х – непрерывная случайная величина с плотностью распределения вероятностей f(x). По определению


Предельные теоремы. Характеристические функции (1)


Выделим на числовой оси интервал АВ, состоящий из точек Предельные теоремы. Характеристические функции


А Предельные теоремы. Характеристические функции Предельные теоремы. Характеристические функции В

х

Предельные теоремы. Характеристические функции Предельные теоремы. Характеристические функции Предельные теоремы. Характеристические функции


Так как под интегралом в (1) находится неотрицательная величина, то, выбросив из интервала интегрирования отрезок АВ, мы значение интеграла не увеличим, т.е.


Предельные теоремы. Характеристические функции


Так как теперь Предельные теоремы. Характеристические функцииПредельные теоремы. Характеристические функции, то


Предельные теоремы. Характеристические функции


Отсюда непосредственно и вытекает неравенство Чебышева.

Если Х – дискретная случайная величина, то доказательство неравенства Чебышева проводится по проделанной выше схеме с той лишь разницей, что вместо интеграла нужно записать сумму.

Так как


Предельные теоремы. Характеристические функции,


то неравенство Чебышева можно записать в другом виде


Предельные теоремы. Характеристические функции


Если взять Предельные теоремы. Характеристические функции, то получим, что неравенство Чебышева дает оценку


Предельные теоремы. Характеристические функции,


что заведомо выполняется, т.к. вероятность Предельные теоремы. Характеристические функции

С другой стороны, если взять Предельные теоремы. Характеристические функции, то


Предельные теоремы. Характеристические функции,


т.е. дает неплохую оценку. Таким образом, мы видим, что неравенство Чебышева полезно лишь относительно (относительно sх) больших Предельные теоремы. Характеристические функции

Теорема Чебышева. При неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины, имеющих конечную дисперсию, сходится по вероятности к ее математическому ожиданию.

Определение. Случайные величины Предельные теоремы. Характеристические функции сходятся по вероятности к величине а, если для Предельные теоремы. Характеристические функции, начиная с которого выполняется неравенство Предельные теоремы. Характеристические функции или, по другому, если для любого малого Предельные теоремы. Характеристические функции


Предельные теоремы. Характеристические функции


Итак, нужно доказать, что для любого малого Предельные теоремы. Характеристические функции


Предельные теоремы. Характеристические функции Предельные теоремы. Характеристические функции


Доказательство. Введем случайную величину


Предельные теоремы. Характеристические функции


Найдем числовые характеристики случайной величины Y, пользуясь их свойствами:


Предельные теоремы. Характеристические функции

Предельные теоремы. Характеристические функции

Теперь применим неравенство Чебышева к случайной величине Y:


Предельные теоремы. Характеристические функции


Так как по условию Dx ограничена, то


Предельные теоремы. Характеристические функцииПредельные теоремы. Характеристические функции


Прежде чем сформулировать центральную предельную теорему введем характеристические функции.


Характеристические функции

Характеристические функции являются одним из способов описания случайных величин, удобным при решении многих задач теории вероятностей.

Пусть имеется вещественная случайная величина Х. Введем комплексную случайную величину W по следующему закону:


Предельные теоремы. Характеристические функции


где Предельные теоремы. Характеристические функции.

Характеристической функцией g(t) случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины W, т.е.


Предельные теоремы. Характеристические функции


Зная закон распределения случайной величины Х, всегда можно найти ее характеристическую функцию g(t).

Для дискретной случайной величины Х с законом распределения


Таблица 1

Х х1 х2 ... хn
Р p1 p2 ... pn

характеристическая функция


Предельные теоремы. Характеристические функции


Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей f(x) характеристическая функция


Предельные теоремы. Характеристические функции


является преобразованием Фурье плотности распределения f(x). С помощью обратного преобразования Фурье можно найти плотность распределения


Предельные теоремы. Характеристические функции


Для того, чтобы эти формулы можно было применять требуется, чтобы


Предельные теоремы. Характеристические функции


В качестве примера найдем характеристическую функцию нормированной гауссовсокой случайной величины. Случайная величина Х называется нормированной, если ее числовые характеристики mx=0 и Dx=1. Плотность распределения вероятности нормированной гауссовской случайной величины имеет вид:


Предельные теоремы. Характеристические функции


По определению имеем

Предельные теоремы. Характеристические функции (2)


После преобразования


Предельные теоремы. Характеристические функции


и замены в интеграле


z = x – jt


соотношение (2) принимает вид


Предельные теоремы. Характеристические функции


но так как


Предельные теоремы. Характеристические функции


то


Предельные теоремы. Характеристические функции


Таким образом, характеристическая функция с точностью до постоянного множителя совпадает с плотностью распределения.

Свойства характеристической функции

1. Характеристическая функция g(t) вещественна тогда и только тогда, когда f(x) – четная функция. Причем g(t) также четна. Это следует из свойств преобразования Фурье.

Если случайные величины Х и Y связаны соотношением


Y = aX,


где а – постоянный множитель, то


gy(t) = gx(at).


Доказательство.


Предельные теоремы. Характеристические функции


Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций.

Доказательство. Пусть Х1, Х2, ... , Хn - независимые случайные величины с характеристическими функциями gx1(t), gx2(t), ... , gxn(t).

Найдем характеристическую функцию


Предельные теоремы. Характеристические функции


Имеем:


Предельные теоремы. Характеристические функции

Так как случайные величины Предельные теоремы. Характеристические функции независимы, то независимы и случайные величины Предельные теоремы. Характеристические функции, поэтому


Предельные теоремы. Характеристические функции


Используя аппарат характеристических функций можно показать, что случайные величины Z = X + Y (Z – носит название композиции), где X, Y независимые случайные величины имеющие биноминальное распределение или распределение Пуассона, или нормальное распределение также подчиняются соответственно биноминальному распределению, закону Пуассона, нормальному закону.


Центральная предельная теорема

Теорема. Если случайные величины Х1, Х2, ... , Хn взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения f(x) и


Предельные теоремы. Характеристические функции


то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы Предельные теоремы. Характеристические функции неограниченно приближается к нормальному.

Она может быть сформулирована в более общем случае. Закон распределения вероятностей суммы независимых случайных величин одинакового порядка при неограниченном увеличении слагаемых вне зависимости законов распределения слагаемых стремится к нормальному закону с плотностью вероятностей


Предельные теоремы. Характеристические функции


где Предельные теоремы. Характеристические функции


Доказательство использует аппарат характеристических функций, представляя Предельные теоремы. Характеристические функции и разлагая функцию gx(t) в ряд Макларена. Далее, делая нормировку случайной величины Yn, т.е. замену Предельные теоремы. Характеристические функции показывается, что

Предельные теоремы. Характеристические функции


Пример. Складываются 24 независимых случайных величины, каждая из которых подчинена равномерному закону на интервале (0, 1).

Написать приближенное выражение для плотности суммы этих случайных величин. Найти вероятность того, что сумма будет заключена в пределах от 6 до 8.

Решение. Пусть Предельные теоремы. Характеристические функции где Хi – равномерно распределенные случайные величины. Случайная величина Y удовлетворяет центральной предельной теореме, поэтому ее плотность распределения


Предельные теоремы. Характеристические функции


Так как Хi – равномерно распределены на интервале (0, 1), то Предельные теоремы. Характеристические функции

Следовательно,


Предельные теоремы. Характеристические функции

Предельные теоремы. Характеристические функции


Подставим полученные значения в формулу плотности вероятности случайной величины Y:

Предельные теоремы. Характеристические функции


Значит


Предельные теоремы. Характеристические функции

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: