Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине

Курсовая работа по сеточным методам

Студент: Смирнов А.В.

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана

Москва 2002

Постановка задачи

Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей  форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).

К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью . На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентом теплообмена  и температурой среды . Коэффициент теплопроводности материала пластины  

Рис. 1 Решение

Введем декартову систему координат , выбрав начало координат и направим оси x и y так, как показано на рис.2.

Рис. 2

Задача теплопроводности в пластине запишется в виде

       (1)

  (2)

    (3)

где   - направляющие косинусы вектора внешней нормали к граничной поверхности,  - граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена ,  - граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности .

Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска минимума функционала

. (4)

Решать поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого сначала проведем триангуляцию нашей области.

Триангуляция.

Результат триангуляции представлен на рис.3.

Рис. 3

Все выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2). Обход треугольника совершается против часовой стрелки.

Метод конечных элементов

Выберем произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его вершины  и . Каждому узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы

,        (5)

где ,  A – площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм и значений температуры  в узловых точках

.      (6)

Функционал (4) можно представить в виде суммы функционалов , каждый из которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e

.         (7)

Минимум функционала (4) находим из условия

      (8)

Функционал  можно представить в виде

  (9)

Здесь , глобальный вектор  температур   ,  - матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид , . Локальный вектор температур . Здесь матрица геометрических связей  имеет размерность . Элементы этой матрицы определяются следующим образом: ; все остальные элементы равны нулю.

Продифференцируем функционал (9):

Из выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем , где матрица теплопроводности элемента ; вектор нагрузки элемента  .

В силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i – j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.

В зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e, матрица  и вектор  будут определяться несколько различным образом.

Обозначим

.

Поверхностные интегралы можно посчитать с помощью относительных координат . Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью . Координаты  определяются из соотношений .

Используя относительные координаты, можно получить следующие соотношения:

Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то . Если ко второй, то . Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то .

Вектор температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейных алгебраических уравнений

,          (10)

где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам

,  .     (11)

Для решения задачи (10) применялся следующий алгоритм:

Вычисление  разложения матрицы ().

Оценка числа обусловленности. Если число обусловленности больше  ( определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения в коэффициентах матрицы  могут привести к большим отклонениям в решении.

. .

Реализация описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Список литературы

Амосов А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.

Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.

Станкевич И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).