Xreferat.com » Рефераты по математике » Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях

Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях

созданная древними греками теория конических сечений не находила своего применения почти две тысячи лет, пока Кеплер не воспользовался ею для создания теории движения небесных тел. Исходя из теории Кеплера, Ньютон создал механику, являющуюся основой всей физики и техники.

Другим таким примером может служить теория групп, зародившаяся в конце XVIII века (Лагранж, 1771 год) в недрах самой математики и нашедшая лишь в конце XIX века плодотворное применение сначала в кристаллографии, а позднее в теоретической физике и других естественных науках. Возвращаясь к современности, заметим, что важнейшие научно-технические задачи, такие, как овладение атомной энергией, космические полеты, были успешно решены в Советском Союзе также благодаря высокому теоретическому уровню развития математики в нашей стране.

Таким образом, в теории дифференциальных уравнений ясно прослеживается основная линия развития математики: от конкретного и частного через абстракцию к конкретному и частному.

Как уже говорилось, в XVIII и XIX веках изучались в основном конкретные уравнения математической физики. Из общих результатов теории уравнений с частными производными в этот период следует отметить построение теории уравнений с частными производными первого порядка (Монж, Коши, Шарпи) и теорему Ковалевской.

Теоремы о существовании аналитического (то есть представимого в виде степенного ряда) решения для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также для линейных систем уравнений с частными производными были доказаны ранее Коши (Cauchy, 1789 - 1857). Эти вопросы рассматривались им в нескольких статьях. Но работы Коши не были известны Вейерштрассу, который предложил С.В. Ковалевской изучить вопрос о существовании аналитических решений уравнений с частными производными в качестве докторской диссертации. (Отмечу, что Коши опубликовал 789 статей и большое число монографий; его наследие огромно, поэтому неудивительно, что некоторые его результаты могли остаться некоторое время незамеченными.) С.В. Ковалевская в своей работе опиралась на лекции Вейерштрасса, где рассматривалась задача с начальными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование Ковалевской придало вопросу о разрешимости задачи Коши для уравнений и систем с частными производными в определенном смысле завершающий характер. Пуанкаре высоко ценил эту работу Ковалевской. Он писал: "Ковалевская значительно упростила доказательство и придала теореме окончательную форму".

Теорема Ковалевской занимает важное место в современной теории уравнений с частными производными. Ей, пожалуй, принадлежит одно из первых мест по числу применений в различных областях теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений (Шаудер, Петровский), современная теория разрешимости линейных уравнений и многие другие результаты используют теорему Ковалевской.

Важным достижением теории уравнений с частными производными явилось создание на рубеже XIX века теории интегральных уравнений Фредгольма и решение основных краевых задач для уравнения Лапласа. Можно считать, что основные итоги развития теории уравнений с частными производными XIX века подведены в учебнике Э. Гурса "Курс математического анализа", изданном в 20-е годы нашего века. Следует отметить большой вклад, который внесли в теорию дифференциальных уравнений и математическую физику труды М.В. Остроградского по вариационным методам, труды А.М. Ляпунова по теории потенциала и по теории устойчивости движения, труды В.А. Стеклова по обоснованию метода Фурье и другие.

Тридцатые и последующие годы нашего века были периодом бурного развития общей теории уравнений с частными производными. В работах И.Г. Петровского были заложены основы общей теории систем уравнений с частными производными, выделены классы систем уравнений, которые в настоящее время носят название эллиптических, гиперболических и параболических по Петровскому систем, исследованы их свойства, изучены характерные для них задачи.

В теорию уравнений с частными производными все глубже стали проникать идеи функционального анализа. Было введено понятие обобщенного решения как элемента некоторого функционального пространства. Идея обобщенного решения систематически проводилась в работах С.Л. Соболева. В связи с исследованием дифференциальных уравнений Соболевым в 30-годы была создана теория обобщенных функций, играющая исключительно важную роль в современной математике и физике. С.Л. Соболевым была построена теория вложения функциональных пространств, которые в настоящее время носят название пространств Соболева. А.Н. Тихоновым была построена теория некорректных задач.

Выдающийся вклад в современную теорию дифференциальных уравнений внесли российские математики Н.Н. Боголюбов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Л.С. Понтрягин, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов и другие.

Влияние на развитие теории уравнений с частными производными в нашей стране оказал семинар, которым в 40-е и 50-е годы руководили И.Г. Петровский, С.Л. Соболев, А.Н. Тихонов. Значительную роль в развитии теории уравнений с частными производными сыграла проблемно-обзорная статья И.Г. Петровского "О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными", опубликованная в 1946 году в журнале "Успехи математических наук". В ней изложено состояние теории уравнений с частными производными того времени и намечены пути ее дальнейшего развития. Теперь, спустя почти 50 лет, можно сказать, что развитие теории уравнений с частными производными шло именно по тому пути, который был начертан в этой замечательной статье.

В настоящее время теория дифференциальных уравнений с частными производными представляет собой богатую, сильно разветвленную теорию. Построена теория краевых задач для эллиптических операторов на основе недавно созданного нового аппарата - теории псевдодифференциальных операторов, решена проблема индекса, изучены смешанные задачи для гиперболических уравнений. Важную роль в современных исследованиях гиперболических уравнений играют интегральные операторы Фурье, которые обобщают оператор преобразования Фурье на тот случай, когда фазовая функция в показателе экспоненты, вообще говоря, нелинейно зависит от независимых переменных и частот. С помощью интегральных операторов Фурье изучен вопрос о распространении особенностей решений дифференциальных уравнений, ведущий начало от классических работ Гюйгенса. В последние десятилетия найдены условия корректной постановки краевых задач, исследованы вопросы гладкости решений для эллиптических и параболических систем. Изучены нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка и широкие классы нелинейных уравнений первого порядка, исследована для них задача Коши, построена теория разрывных решений. Глубокому изучению были подвергнуты система Навье-Стокса, система уравнений пограничного слоя, уравнения теории упругости, уравнения фильтрации и многие другие важные уравнения математической физики.

Интересным примером привлечения идей и средств из других областей математики является решение в последние годы задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриса с помощью обратной задачи теории рассеяния. На основе возникшего при этом метода найдены новые классы интегрируемых нелинейных уравнений и систем. При этом существенную роль сыграло применение методов алгебраической геометрии, позволившее, в частности, проинтегрировать уравнения Янга-Миллса, играющие важную роль в квантовой теории поля.

В последние десятилетия возник и интенсивно развивается новый раздел теории уравнений с частными производными - теория усреднения дифференциальных операторов. Эта теория возникла под влиянием задач физики, механики сплошной среды и техники, в частности, связанных с изучением композитов (сильно неоднородных материалов, широко используемых в настоящее время в инженерной технике), пористых сред, перфорированных материалов. Такие задачи приводят к уравнениям с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами или в областях со сложной границей. Численное решение такого рода задач крайне затруднительно. Необходим асимптотический анализ задачи, что и приводит к задачам усреднения.

Много работ в последние годы посвящено изучению поведения решений эволюционных уравнений (то есть уравнений, описывающих процессы, развивающиеся во времени) при неограниченном возрастании времени и возникающих при этом так называемых аттракторов. Продолжает привлекать внимание исследователей вопрос о характере гладкости решений краевых задач в областях с негладкой границей, большое число работ в последние годы посвящено изучению конкретных нелинейных задач математической физики.

За последние полтора - два десятка лет сильно изменилось лицо качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Одним из важных достижений является открытие предельных режимов, которые получили название аттракторов.

Оказалось, что наряду со стационарными и периодическими предельными режимами возможны предельные режимы совершенно иной природы, а именно такие, в которых каждая отдельная траектория неустойчива, а само явление выхода на данный предельный режим структурно устойчиво. Открытие и подробное изучение для систем обыкновенных дифференциальных уравнений таких предельных режимов, называемых аттракторами, потребовало привлечения средств дифференциальной геометрии и топологии, функционального анализа и теории вероятностей. В настоящее время происходит интенсивное внедрение этих математических понятий в приложения. Так, например, явления, происходящие при переходе ламинарного течения в турбулентное при повышении чисел Рейнольдса, описываются аттрактором. Изучение аттракторов предпринято также и для уравнений с частными производными.

Другим важным достижением теории обыкновенных дифференциальных уравнений явилось изучение структурной устойчивости систем. При использовании любой математической модели возникает вопрос о корректности применения математических результатов к реальной действительности. Если результат сильно чувствителен к малейшему изменению модели, то сколь угодно малые изменения модели приведут к модели с совершенно иными свойствами. Такие результаты нельзя распространять на исследуемый реальный процесс, так как при построении модели всегда проводится некоторая идеализация и параметры определяются лишь приближенно.

Это привело А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина к понятию грубости системы обыкновенных дифференциальных уравнений или понятию структурной устойчивости. Это понятие оказалось очень плодотворным в случае малой размерности фазового пространства (1 или 2), и в этом случае вопросы структурной устойчивости были детально изучены.

В 1965 году Смейл показал, что при большой размерности фазового пространства существуют системы, в некоторой окрестности которых нет ни одной структурно устойчивой системы, то есть такой, что при малом изменении векторного поля она остается в определенном смысле эквивалентной первоначальной. Этот результат имеет фундаментальное значение для качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так как показывает неразрешимость задачи топологической классификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений, и может быть сравним по своему значению с теоремой Лиувилля о неразрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах.

К важным достижениям можно отнести построение А.Н. Колмогоровым теории возмущений гамильтоновых систем, обоснование метода усреднения для многочастичных систем, развитие теории бифуркаций, теории возмущений, теории релаксационных колебаний, дальнейшее глубокое изучение показателей Ляпунова, создание теории оптимального управления процессами, описываемыми дифференциальными уравнениями.

Таким образом, теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.

Бурбаки, говоря об архитектуре математики, так характеризует ее современное состояние:

"Дать в настоящее время общее представление о математической науке - значит заниматься таким делом, которое, как кажется, с самого начала наталкивается на почти непреодолимые трудности благодаря обширности и разнообразию рассматриваемого материала. Статьи по чистой математике, публикуемые во всем мире в среднем в течение одного года, составляют многие тысячи страниц. Не все они, конечно, имеют одинаковую ценность; тем не менее, после очистки от неизбежных отбросов оказывается, что каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает все более разнообразное содержание и постоянно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях, даже если он посвятит этому всю свою деятельность. Многие из математиков устраиваются в каком-либо закоулке математической науки, откуда они не стремятся выйти и не только почти полностью игнорируют все то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них". (Н. Бурбаки, "Очерки по истории математики", М.: ИЛ, 1963 г.)

Однако нельзя, как мне кажется, отрицать значение для математических исследований даже тех, кто находится "в закоулке" математической науки. Основное русло математики, как и большой реки, питают прежде всего небольшие ручейки. Крупные открытия, прорыв фронта исследований очень часто обеспечиваются и подготавливаются кропотливым трудом очень многих исследователей. Все сказанное относится не только ко всей математике, но и к одному из самых обширных ее разделов - теории дифференциальных уравнений, которая в настоящее время представляет собой трудно обозримую совокупность фактов, идей и методов, очень полезных для приложений и стимулирующих теоретические исследования во всех других разделах математики.

Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: