Xreferat.com » Рефераты по математике » Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

);;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;Министерство образования РФ

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Филиал "Восход"

Кафедра МиПОИС


Курсовая работа

по курсу: Дифференциальные уравнения


Студент гр. ДА 2-40

Воронцов О. В.


Байконур 2005 г.

1. Теоретическая часть


Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:


Дифференциальные уравнения


Возможны три случая:

Когда C1=C2 =0


Дифференциальные уравнения


Когда


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Когда


Дифференциальные уравнения


Вводятся новые переменные u и υ так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства:


Дифференциальные уравнения


Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: Дифференциальные уравнения, не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+k правая часть исходного уравнения принимает вид Дифференциальные уравнения, а само уравнение: Дифференциальные уравнения. Полученное уравнение является однородным


2. Практическая часть


Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:


Дифференциальные уравнения


– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Проинтегрируем выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Следовательно, исходное уравнение является однородным.

Пусть


Дифференциальные уравнения


Произведём замену в исходном уравнении:


Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:


Дифференциальные уравнения

Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Но Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения

Задача 3. Найти общий интеграл: Дифференциальные уравнения

Решение:

Дифференциальные уравнения - дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному


Дифференциальные уравнения


Введём новые элементы:


Дифференциальные уравнения ,


где h и k должны удовлетворять уравнениям:


Дифференциальные уравнения откуда Дифференциальные уравнения

Таким образом:


Дифференциальные уравнения откуда Дифференциальные уравнения


Подставляя это в исходное уравнение, получим


Дифференциальные уравнения


Или


Дифференциальные уравнения


Сделаем подстановку:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения -


дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными


Дифференциальные уравнения


Упростим левую часть выражения


Дифференциальные уравнения

1+z=A(z-1)+Bz

Z1: 1=A+B A=-1

z0: 1=-A B=2


Проинтегрируем уравнение (**)


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C

Дифференциальные уравнения


Пропотенцируем и подставим значение z в выражение


Дифференциальные уравнения


Упрощая данное выражение, получим:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 4. Найти решение задачи Коши:Дифференциальные уравненияДифференциальные уравнения

Решение:

Дифференциальные уравнения– линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

a) Дифференциальные уравнения


Разделим переменные:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

б) Дифференциальные уравнения


Разделяя переменные, подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Следовательно:


Дифференциальные уравнения


Найдём значение С2

y|п/4=1/2

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 5. Решить задачу Коши: Дифференциальные уравнения

Решение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения - линейное уравнение

Воспользуемся методом интегрирующего множителя:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 6. Найти решение задачи Коши: Дифференциальные уравнения, y(0)=1

Решение:

Дифференциальные уравнения - уравнение Бернулли

Подёлим данное уравнение на (:y2):


Дифференциальные уравнения


Произведём замену и подставим её в исходное уравнение:


z=y-1 Дифференциальные уравнения


Следовательно:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения - линейное уравнение


Воспользуемся методом Бернулли:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Откуда:


Дифференциальные уравнения


Найдём значение С2


Дифференциальные уравнения


Следовательно:Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:


Дифференциальные уравнения


- дифференциальное уравнение в полных дифференциалах


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения (*)


Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y:


Дифференциальные уравнения


Дифференцируя полученное, имеем:


Дифференциальные уравнения

Но Дифференциальные уравнения


Откуда:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Следовательно:


Дифференциальные уравнения


Ответ:


Дифференциальные уравнения


Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.


Дифференциальные уравнения


Решение:

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:


Дифференциальные уравнения


Откуда Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения


В результате получим следующий график:


Дифференциальные уравнения


Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор Дифференциальные уравнения с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направлением оси ординат. М0(6;4), a=10

Решение:


Дифференциальные уравнения


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Подставляя значения функции в точке M найдём значение С:

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:

Дифференциальные уравнения - дифференциальное уравнение третьего порядка

Пусть Дифференциальные уравнения

Подставив в исходное уравнение, получим:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Проинтегрируем и поделим на х данное выражение:


Дифференциальные уравнения


Следовательно: Дифференциальные уравнения

Разделяя переменные и вновь интегрируя, получим:


Дифференциальные уравнения


Повторяем процедуру в третий раз и получаем искомое выражение для y


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:

Данное уравнение не содержит х в явном виде

Предположим, что Дифференциальные уравнения откуда Дифференциальные уравнения

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так:


Дифференциальные уравнения


Разделим переменные и проинтегрируем выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

НоДифференциальные уравнения. Тогда Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Однако: Дифференциальные уравнения. Поэтому разделим переменные и проинтегрируем выражение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Выясним значение С2:


Дифференциальные уравнения


Следовательно: Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:

Дифференциальные уравнения - НЛДУ четвёртого порядка

Решение будет записано в виде:


Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения


Запишем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):


Дифференциальные уравнения


Составим и решим для ОЛДУ характеристическое уравнение:


k4-3k3+3k2-k=0

k1=0

k3-3k2+3k-1=0

k2=1


по методу Горнера:


1 -3 3 -1

1 1 -2 1 0

k3-2k2+1=0

k3,4=1


Общее решение будет равно:


Дифференциальные уравнения


Найдём частное решение:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

6A-2Ax-B=2x

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Откуда: Дифференциальные уравнения

Ответ: Дифференциальные уравнения


Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения


Решение:

Дифференциальные уравнения - НЛДУ с постоянными коэффициентами

Составим ОЛДУ и решим соответствующее характеристическое уравнение


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Решение НЛДУ запишется в виде:Дифференциальные уравнения

Общее решение:Дифференциальные уравнения

Найдём частное решение дифференциального уравнения:


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения


Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим коэффициенты


Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения => Дифференциальные уравнения


Частное решение: Дифференциальные уравнения

Решение дифференциального уравнения:


Похожие рефераты: