Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ________________ Вечтомов Е.М.

« » _______________

Декан факультета ______________ Варанкина В.И.

« »_______________

Киров 2005

Оглавление

Предисловие

Глава i. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах

§1. Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах

1.1. Определение аффинного преобразования

1.2. Формула аффинного преобразования

§2. Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании

§ 3. Формула обратного преобразования

§ 4. Основная теорема теории аффинных преобразований

§5. Свойство площадей треугольников

§6. Род аффинного преобразования

6.1. Ориентация плоских фигур

6.2. Ориентация пар векторов

§7. Неподвижные точки и двойные прямые аффинных преобразований

7.1. Неподвижные точки аффинных преобразований

7.2. Двойные прямые аффинных преобразований

глава ii. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах

§1. Преобразование подобия

§2. Преобразование родства

2.1. Понятие преобразования родства

2.2. Сжатие и его частные виды

2.3. Сдвиг

§3. Эллиптический поворот

§4. Параболический поворот

§5. Представление аффинных преобразований композициями их частных видов

Библиографический список

Предисловие

Целью данной работы является рассмотрение и изучение аффинных преобразований евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах.

Теория аффинных преобразований впервые была рассмотрена Дарбу. В данной работе эта теория изложена методом комплексных чисел.

В работе рассмотрена общая теория для всех аффинных преобразований евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах, а также такие частные виды аффинных преобразований, как подобие, родство, эллиптический поворот, параболический поворот. Первое из них имеет две разновидности – подобия первого и второго рода, и теория для него разработана Скопецом З.А. совместно с Понариным Я.П. Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, у которого есть частные виды, также рассмотренные в работе. Теория этого аффинного преобразования для комплексных чисел разработана Понариным Я.П. Эллиптический и параболический повороты – это эквиаффинные преобразования, являющиеся композицией других аффинных преобразований. Они также определены научным руководителем.

Для каждого из четырёх рассмотренных аффинных преобразований и частных видов некоторых из них получены координатные формулы в сопряжённых комплексных координатах, изучены их простейшие свойства.

Глава I. Теория аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах

§1. Определение и формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах

1.1. Определение аффинного преобразования

Введём определение аффинного преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах.

Преобразование евклидовой плоскости называется аффинным, если оно отображает каждую прямую на прямую. [1]

1.2. Формула аффинного преобразования

Мы хотим построить теорию аффинных преобразований с помощью комплексных чисел. Но для этого нужно иметь формулу аффинного преобразования, то есть выражение комплексной координаты z’ образа данной точки M(z) через координату z этой точки М.

Известно, что аффинное преобразование плоскости в аффинных (и в частности, в прямоугольных декартовых) координатах имеет формулы:

где (1)

Так как хотим получить формулу аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах, то нужно получить выражение комплексной координаты z’=x’+iy’ точки M’(z’) через комплексную координату её образа z=x+iy точки M(z): в выражение z’ подставим вместо x’ и y’ их выражения из формул (1) : , раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые в правой части этого равенства, получим . Теперь произведём тождественное преобразование над коэффициентами при x и iy:

Сгруппировав коэффициенты при x и iy, получаем следующее:

. Введя обозначения , , и учитывая, что и , имеем выражение комплексной координаты z’ точки M’ через комплексную координату её образа z точки M: . Осталось найти определитель этого преобразования. После некоторых преобразований определитель примет вид: , откуда, воспользовавшись введёнными обозначениями коэффициентов аффинного преобразования, имеем: . Таким образом, формула аффинного преобразования в сопряжённых комплексных координатах имеет вид:

, где (2)

§2. Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании

Как известно из определения аффинного преобразования, прямая переходит на прямую. Возьмём уравнение прямой , где . (3)

Любая точка M(z), принадлежащая этой прямой, при аффинном преобразовании (2) перейдёт в некоторую точку M’(z’), комплексная координата которой . Выразим из этого равенства и сопряжённого к нему : откуда получаем , то есть

, где . (4)

Это формула преобразования, обратного аффинному преобразованию (2).

Но вернёмся к нашим рассуждениям и подставим в (3) выражение z через z’ и в результате чего получим следующее равенство :

. Теперь раскроем скобки и сгруппируем множители перед z’ и , а оставшиеся слагаемые будем считать свободным членом, получим уравнение образа прямой:

. (5)

Очевидно, что это уравнение прямой: коэффициенты при z’ и сопряжены, а свободный член является действительным числом. Таким образом, получили уравнение образа прямой при аффинном преобразовании (2).

§ 3. Формула обратного преобразования

В предыдущем параграфе нами была найдена формула (4) преобразования, обратного аффинному преобразованию (2). Покажем, что данное преобразование также является аффинным. Для этого достаточно доказать, что его определитель не равен нулю.

Рассмотрим определитель преобразования (4), он равен: , приведём к общему знаменателю и сократим на общий множитель, получим: , где , следовательно, определитель обратного преобразования (4) находится в следующей зависимости с определителем преобразования (2): и он не равен нулю. Следовательно, обратное преобразование (4) также является аффинным, что и требовалось доказать.

§ 4. Основная теорема теории аффинных преобразований

Докажем следующую теорему:

Существует одно и только одно аффинное преобразование, переводящее произвольные три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, в три произвольные точки А’, B', C', также не лежащие на одной прямой.[3]

Доказать единственность аффинного преобразования можно показав, что коэффициенты преобразования a, b, и c выражаются однозначно через координаты точек А(), В(), С() и A'(a’), B’(b’), C’(c’).

Так как точки A', B', C' являются образами точек А, В и С, то их координаты можно выразить следующим образом:

Решим эту систему относительно коэффициентов преобразования a, b, c, получим их выражение через координаты точек А, В, С и A', B’, C’:

Таким образом, коэффициенты преобразования находятся однозначно. Опустив громоздкие выкладки, отметим, что определитель рассмотренного аффинного преобразования не равен нулю, таким образом, доказано существование и единственность искомого аффинного преобразования.

§5. Свойство площадей треугольников

Докажем, что площадь треугольника пропорциональна площади его образа при некотором аффинном преобразовании (2) с коэффициентом пропорциональности, равным определителю этого аффинного преобразования. [1]

Пусть точки M, N и K неколлинеарны, тогда точки M’, N’ и K’, являющиеся образами точек M, N и K при некотором аффинном преобразовании (2), также неколлинеарны. Найдём отношение площадей ориентированных треугольников MNK и M’N’K’. Воспользуемся формулой площади положительно ориентированного треугольника: ,

. (6)

Для координат точек M’, N’ и K’ выполняются равенства

Преобразуем формулу площади второго треугольника (6), подставив вместо координат его вершин их выражения через координаты вершин первого треугольника, получим:

После последовательных преобразований полученного выражения имеем: , то есть . Таким образом, площадь треугольника пропорциональна площади его прообраза с коэффициентом пропорциональности, равным определителю аффинного преобразования, что и требовалось доказать.

Следствие. Отношение площади треугольника к площади его образа при аффинном преобразовании является инвариантом этого аффинного преобразования.

Найденное свойство площадей треугольников можно обобщить на произвольные -угольники.

§6. Род аффинного преобразования

6.1. Ориентация плоских фигур

Введём понятие ориентации плоских фигур, причём здесь можно ограничиться лишь рассмотрением ориентации треугольников: каждый треугольник может быть ориентирован двумя способами, то есть обход его контура может совершаться в двух взаимно противоположных направлениях – «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки». Аффинные преобразования первого рода сохраняют ориентацию всех треугольников, а аффинные преобразования второго рода меняют её на противоположную.

6.2. Ориентация пар векторов

Если на плоскости задана система координат, то одну из двух ориентаций плоских фигур называют обычно положительной, а другую – отрицательной. За положительную принимается ориентация, определяемая обходом координатного треугольника ОЕ₁Е₂ (рис. 1) или, что то же самое, направлением вращения от вектора к вектору (на угол, меньший 180⁰). В связи с этим введём также понятие ориентации пары векторов: будем называть пару векторов и ориентированной положительно, если направление вращения (на наименьший возможный угол) от к совпадает с направлением вращения от к ; в противном случае пару векторов и назовём ориентированной отрицательно.

Рис. 1

Выясним теперь, как определить ориентацию пары векторов и , заданных своими комплексными координатами p и q соответственно. Очевидно, что если угол между векторами положительно ориентирован, то его синус положителен, в противном случае – отрицателен.

Используем формулу синуса угла между векторами, заданными своими комплексными координатами: . Найдём синус угла между векторами (p) и (q): . Здесь числитель – чисто мнимое число, следовательно, знак синуса угла зависит от знака числа .

Образом вектора (p) при аффинном преобразовании (2) будет вектор с комплексной координатой , вектор , являющийся образом вектора (q) при этом же аффинном преобразовании будет иметь комплексную координату . Найдём теперь синус угла между векторами и : . Упростив правую часть равенства, получим: . Знак синуса угла между векторами и зависит от знаков выражений и так как второе из них присутствует в выражении , то именно от выражения зависит, будет ли знак синуса угла между векторами и отличаться от знак синуса угла между векторами и . То есть если значение выражения положительно, то ориентация пары векторов и будет совпадать с ориентацией пары векторов и . В противном случае при аффинном преобразовании (2) ориентация пары векторов сменится на противоположную.

Таким образом, аффинное преобразование (2) сохраняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель положителен. В этом случае преобразование (2) является аффинным преобразованием первого рода. Иначе, аффинное преобразование меняет ориентацию пары векторов (и, соответственно, плоских фигур) в случае, когда его определитель отрицателен. И в таком случае преобразование (2) является аффинным преобразованием второго рода.

§7. Неподвижные точки и двойные прямые аффинных преобразований

7.1. Неподвижные точки аффинных преобразований

Найдём координаты неподвижных точек аффинного преобразования (2). Для неподвижных точек, то есть для точек, переходящих в себя при аффинном преобразовании, должно выполняться следующее условие: z’=z, то есть

. (7)

Выразим отсюда z. Для этого решим следующую систему

( где ) (8)

Получили координату точки, являющейся инвариантом аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c.

Тогда для аффинного преобразования возможны три случая [1]:

1. неподвижных точек не существует;

2. неподвижная точка единственная;

3. неподвижных точек бесконечно много.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Неподвижных точек не существует тогда и только тогда, когда для коэффициентов преобразования выполняется условие: Преобразовав второе условие системы, получим . (9)

Выполнимость этой системы и является условием того, что для данного аффинного преобразования неподвижных точек не существует.

2. Неподвижная точка единственна тогда и только тогда, когда

, то есть (10)