Формирование понятия функции в курсе математики средней школы

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образование «Гомельский Государственный университет им. Ф.Скорины »

Математический факультет

Кафедра математического анализа

Допущена к защите

Зав. кафедрой _______ Малинковский Ю.В.

«___» ___________ 2002г.

Формирование понятия функции в курсе математики средней школы

Дипломная работа

Исполнитель

студентка группы М-61 _________ Рыкунова Юлия Витальевна

Научный руководитель _________Гаврилюк Александр Владимирович

к. п.н., доцент

Рецензент _________ Лытко Александр Александрович

к. п.н., доцент

Гомель 2002

Содержание:

Введение

§1 Различные трактовки понятия функции в школьном курсе математики.

§2 Функция и задание ее аналитическим выражением.

§3 Область определения функции и область значений функции как принципиально важные понятия в определении функции.

§4 Важнейшие классы функций: четные, конечные периодические.

§5 Тестовые работы по теме «Числовые функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции»

Заключение.

Введение

Функция – одно из фундаментальных понятий математики, а функциональная идея является одной из определяющих идей развития школьного курса математики.

Данная дипломная работа посвящена анализу изучения понятия функции в школьном курсе математики. Основная ее цель – выявить ключевые моменты в определении этого понятия, на которые необходимо обратить особое внимание школьников при изучении данной темы, для того, чтобы не допустить формального усвоения данного понятия. В существующей школьной литературе (исключение составляет учебник «Алгебра» 8-11 класс К.О. Ананченко, Н.Т. Воробьева, Г.Н. Петровского) преобладает традиционная методика в изложении понятия функции, которая приводит к тому, что в результате выпускник школы, давая стандартное определение функции, не может ответить на элементарные вопросы, относящиеся к этой теме. В частности, на вопрос: «Какая функция называется ?», правильный и полный ответ можно услышать очень редко.

Работа состоит из 5 параграфов, введения и заключения.

В § 1 дается анализ двух основных трактовок понятия функции, имеющихся в рекомендованной школьной литературе: так называемое классическое, ориентированное в основном на приложение математики в физике и технике и опирающееся на понятие «переменная величина», и современное (или теоретико - множественное), связанное с отказом от расплывчатого понятия переменной величины, которое позволяет значительно расширить понятие функции, так как рассматривает функции не только от «величин».

В § 2 рассматриваются вопросы, связанные со способами задания функции. Ключевым моментом этого параграфа является анализ аналитического способа задания функций, т.е. с помощью формулы. Важным в этом параграфа является исследование соотношения понятий «функция» и «формула».

В третьем параграфе дается ответ на важный вопрос: «Что значит задать функцию?» Здесь речь в большей степени идет о множестве определения и множестве значений функций и важности понимания того, что говорить о функции, информация об области, определения которой отсутствует, не корректно. Следует отметить, что непонимание этого факта часто присутствует в ответах даже подготовленных школьников.

В § 4 рассматриваются важные классы функций: четные, нечетные, периодические. Здесь определения данных классов подкреплены типичными примерами, в которых школьники, как правило, делают ошибки. Основное внимание уделено на то, что при определении таких функций кроме закона соответствия важно следить и за их областью определения.

В § 5 подготовлен комплект тестовых заданий по теме «Числовые функции. Сложная функция. Четные, нечетные функции. Периодические функции». При разработке данного комплекта тестовых заданий учитывались следующие моменты:

1) содержание заданий, вопросов охватывает наиболее принципиальные стороны и идеи темы;

2) в заданиях сделан акцент и на проверку навыков, и на выявление глубины освоения идейного содержания темы, проявлению математической эрудиции;

3) по усмотрению учителя тестовое задание может предлагаться ученикам не полностью, а частями.

4) задания обеспечивают возможность проведения итоговых занятий на заключительном этапе изучения понятия функции в школьном курсе математики.

Комплект тестовых заданий составлен в четырех вариантах и включает двенадцать вопросов. На каждый из них дается четыре ответа для выбора правильного из них. Вопросы в заданиях предлагаются в текстовой и графической формах. Задания рассчитаны на 45 минут работы школьника.

В процессе работы над дипломной работой была проанализирована основная литература по данной теме, список которой приводится в конце. Отметим, что среди этой литературы, на мой взгляд, учебник «Алгебра» 8-11 класс К.О. Ананченко, Н.Т. Воробьева, Г.Н. Петровского в наибольшей степени соответствует современным требованиям в подходе к освещению затронутых в нашей работе вопросов.

В заключении отметим, что в данной работе сделана попытка, опираясь на основные школьные учебники, собрать материал по данной теме, систематизировать его для того, чтобы выделить важные моменты при формировании понятия функции и препятствовать формальному усвоению понятий, сопутствующих определению функции. Большую роль в достижении этой цели играют разработанные тестовые задания, разбор типичных примеров, в которых учащиеся зачастую дают неправильные ответы.

Данная работа охватывает весь материал, связанный с понятием функции в школьном курсе и может быть использована при работе на уроках в обычных, профильных классах и на факультативных занятиях по математике.

§1. Различные трактовки понятия функции в школьном курсе математики

Функция – одно из фундаментальных понятий математики, а функциональная идея является одной из определенных идей развития школьного курса математики.

В существующих программах по математике как для школ (классов) с углубленным изучение математики, так и для базовых школ тема «Функции» занимает большой объем, к тому же очень много вопросов, касающихся функций, содержит программа по математике для поступающих в ВУЗы, поэтому особенно важен вопрос о трактовке этого фундаментального понятия математики.

Существуют различные трактовки общего понятия функции. В математике известны два основных направления: так называемое классическое, ориентированное в основном на приложение математики в физике и технике и опирающееся на понятие «переменная величина», и современное (или теоретико - множественное), связанное с отказом от расплывчатого понятия переменной величины, которое позволяет значительно расширить понятие функции, так как рассматривает функции не только от «величин».

Примером классического направления трактовки функции может служить определение функции: «зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называют функциональной зависимостью, или функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от такого аргумента. “ (Алгебра, учебник для седьмого класса общеобразовательных учреждений. Под редакцией С.А. Теляковского, М., 1997, стр. 44). Авторы учебника «Алгебра» для 9 класса общеобразовательных школ с углубленным изучением математики К.О. Ананченко, Н.Т. Воробьева, Г.Н. Петровского, Мн, 1995г., дают общее понятие функции в двух трактовках. С одной стороны они истолковывают функцию как «соответствие (правило) по которому для любого х (независимой переменной) из множества Х сопоставляется вполне определенное (единственное) у (зависимая переменная) из Y (стр.4)

С другой стороны, они определяют функцию как соответствие между множествами: если Х и Y – два произвольных множества, то говорят, что на Х определена функция f, принимающая значения из Y, если каждому элементу х Х поставлен в соответствие единственный элемент y Y “ /стр. 5/.

Это уже второе современное (теоретико – множественное) направление.

§2. Функция и задание её аналитическим выражением

Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению аргумента находятся соответствующие ему значения функции.

Из всех основных способов задания функции, таких, как аналитический, табличный, графический, алгоритмический или программный, особый интерес и значимость имеет задание функции при помощи некоторой формулы, некоторого аналитического выражения, позволяющего для любого значения аргумента из области определения Х, находить соответствующее значение функции путем вычислений.

Представление о формуле как о некоторой формуле, связывающей y и х, к сожалению, довольно часто встречается у школьников. Функция и формула - это разные «вещи» Одно дело-функция как отображение одного множества (в данном случае числового множества) на другое, другое дело – формула, представляющая собой лишь один из способов задания функции.

Чем же опасно отождествление функции с формулой, которая описывает функцию?

Во-первых, не всякая формула задает функцию.

Приведем несколько примеров:

у = +; y = +:

y = +; и т.д.

Что можно сказать об области определения, например, функции

y = +?

Функция у = имеет область определения [2; +), а функция у = - область определения ]-; 1]. Указанные промежутки не пересекаются, значит, формула у = +не определяет никакой функции.

Во всех указанных примерах за формулой не стоит никакой функции, так как область определения выражений f(x) есть пустое множество.

Во-вторых, не всякую функцию можно задать с помощью формулы.

Примером такой функции является функция Дирихле, определенная на числовой прямой:

D(y) =

Эта функция есть отображение множества рациональных чисел в единицу и множества иррациональных чисел в нуль.

В-третьих, несколько формул могут задавать одну-единственную функцию.

Пример:

у =

Эта функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(y) = (-;+) и задана с помощью трех аналитических выражений, а именно на промежутке (-;0) используется закон числового соответствия, описываемый формулой у = 2, на отрезке [0;2] – формулой 1+x, а на промежутке (2;+) – формулой у = х-1.

Таким образом, формула – это не сама функция, а всего лишь один из способов ее задания.

§3. Область определения функции и область значений функции как принципиально важные понятия в определении функции

Принципиально важным вопросом при формировании понятия функции является вопрос об области определения функции и области значений функции. Из определения функции вытекает, что функция у = f(x) должна задаваться вместе с ее областью определения Х. При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями.

Напоминаем, что областью определения функции (обозначается D(f) или D(y)) называется множество Х, на котором определяется функция f.

Например, функция, выражающая зависимость между пройденным путем и временем движения при свободном падении тела, брошенного без начальной скорости, определяется как

f (x) =, D(f) = [0;]

Для х>0 данная функция не определена, так как время движения не может быть отрицательным. В то же время формула f (x) = имеет смысл при всех хR.

Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл.

Важным в формировании понятия функции является понимание следующего принципиального момента. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.

Пример:

у = ,

определенная на отрезке [-6;-1], у = , определенная на промежутке (0;+), это разные функции.

Косинус, определенный, например, на отрезке [0;], косинус, определенный на отрезке [, и косинус, определенный на всей числовой прямой, - это три различные функции. Областью значений функции, или областью изменения функции (обозначается Е(f) или Е(у)) называется множество всех у изY, для каждого из которых существует хотя бы одно значение аргумента х, такое, что f(x) = y.

Область изменения функции у = f(x) вычисляется по уже заданной области определения.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть дана функция

y = .

Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых logsin x 0 и sin x>0. Так как , то для 0 < sin x < 1 logsin x < 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение

logsin x = 0

logsin x = log1

sin x = 1, откуда

x = + 2n, nZ.

Таким образом, D(y) = {+2n , nZ}.

Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку

logsin ( + 2n) = log1 = 0.

2. Найти область изменения функции

у = .

Решение:

Составим уравнение = а, и исследуем множество его решений.

При а 0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- х= а или х= 1 - а. Это уравнение имеет решение лишь при 1 - а 0, откуда а[-1;1], но с учетом, а 0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда а[0;1], поэтому E(y) = [0;1].

3. Найти область определения функции

y = + .

Решение:

Функция y = определена для значений x0;

Функция y