Xreferat.com » Рефераты по математике » Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

Абзалимов Р.Р.

В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосизаменяется на Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.

I. Регулярная задача

Рассмотрим следующую краевую задачу:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                   (1.1)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                    (1.2)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                    (1.3)

Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.4)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

с граничными условиями

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.5)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                        (1.6)

где

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                              (1.7)

Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси удовлетворяет так называемым условиям сопряжения

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                                              (1.8)

В каждом интервале Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси решения Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосиуравнения (1.4) имеют вид:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                            (1.9)

Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                  (1.10)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                            (1.11)

Из первого краевого условия получаем зависимость Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси от Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                                         (1.12)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси выписывается явно.

Пусть Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные значения и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

и пустьВычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные значения задачи (1)-(3) и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                        (1.13)

Заметим прежде, что Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                               (1.14)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                        (1.15)

Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Представим ее в виде

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                (1.16)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Применяя метод последовательных приближений, получаем:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                       (1.17)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - решения уравнения (1.4).

Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).

Из (1.15) нетрудно установить неравенство:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                           (1.18)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда имеет место следующее равенство:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси                               (1.19)

при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.

Следствие 1.1 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Следствие 1.2 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6), Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).

Следствие 1.3 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосисовпадают со всеми корнями уравнения Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Следствие 1.4 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси образуют полную систему собственных функций.

II. Сингулярная задача. Случай Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                     (2.1)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                     (2.2)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. В случае, когда Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси; таким образом, для каждого Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси. Если бы мы знали все значения собственных функций Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, соответствующие собственным числам Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосизадачи на полуоси, в точке Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, то, решая задачи на конечном промежутке Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси с дополнительным граничным условием Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (условие Дирихле) и Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (условие Неймана). Пусть Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:

ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                         (2.3)

где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси[1] .

Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.

ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                                        (2.4)

Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.

Замечание В случае полуограниченного оператора (Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.

Следствие 2.1 Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси - длина промежутка Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Пример

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Известно, что Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосивычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

III. Сингулярная задача. Случай Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Будем рассматривать задачу

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси,                                  (2.1)

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.                                  (2.2)

Имеет место следующая (см. [3])

ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуосиудовлетворяет следующим условиям

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси , при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси сохраняет знак для больших Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, где Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси, при Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси;

Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси.

Тогда спектр оператора Вычисление собственных чисел
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: