Xreferat.com » Рефераты по математике » Решение задач по высшей математике

Решение задач по высшей математике

Размещено на


КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Решение задач по высшей математике

Задача 1


Вычислить определители:


Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике.


Решение


Решение задач по высшей математике,

Решение задач по высшей математике


Задача 2


Вычислить определитель:


Решение задач по высшей математике.

Решение


Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца


Решение задач по высшей математике.


Задача 3


Найти матрицу, обратную к матрице Решение задач по высшей математике.


Решение задач по высшей математике


Решение


Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения Решение задач по высшей математике:


Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике.


Ответ: Обратная матрица имеет вид:


Решение задач по высшей математике.


Задача 4


С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы


Решение задач по высшей математике.

Решение


Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на Решение задач по высшей математике, а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим


Решение задач по высшей математике.


Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем


Решение задач по высшей математике

Решение задач по высшей математике Решение задач по высшей математике.


Ответ: Ранг матрицы равен двум.


Задача 5


Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

Решение задач по высшей математике;


Решение


Вычислим главный определитель системы Решение задач по высшей математике и вспомогательные определители Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике,Решение задач по высшей математике.


Решение задач по высшей математике.

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике.


По формуле Крамера, получим


Решение задач по высшей математике;

Решение задач по высшей математике; Решение задач по высшей математике.

Задача 6


Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.


Решение задач по высшей математике


Решение


Матрица Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике имеют вид

Решение задач по высшей математике

Решение задач по высшей математике,

Решение задач по высшей математике.


Их ранги равны Решение задач по высшей математике. Система совместна. Выделим следующую подсистему


Решение задач по высшей математике


Считая Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид

Решение задач по высшей математике; Решение задач по высшей математике,


где Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике - могут принимать произвольные значения. Пусть Решение задач по высшей математике , где Решение задач по высшей математике Тогда ответом будет служить множество


Решение задач по высшей математике

Решение задач по высшей математике


Задача 7


Даны начало Решение задач по высшей математике и конец Решение задач по высшей математике вектора Решение задач по высшей математике. Найти вектор Решение задач по высшей математике и его длину.


Решение


Имеем Решение задач по высшей математике, откуда Решение задач по высшей математике или Решение задач по высшей математике.

Далее Решение задач по высшей математике, т.е. Решение задач по высшей математике.


Задача 8


Даны вершины треугольника Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике. Найти с точность до Решение задач по высшей математике угол Решение задач по высшей математике при вершине Решение задач по высшей математике.

Решение


Задача сводится к нахождению угла между векторами Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике:


Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике; Решение задач по высшей математике. Тогда Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике.


Задача 9


Даны вершины треугольника Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике. Вычислить площадь этого треугольника.


Решение


Так как площадь треугольника Решение задач по высшей математике равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математикекак на сторонах, т.е. Решение задач по высшей математике, то Решение задач по высшей математике. Найдем векторы Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике:


Решение задач по высшей математике; Решение задач по высшей математике; Решение задач по высшей математике.


Вычислим их векторное произведение:


Решение задач по высшей математике,

Решение задач по высшей математике,


Откуда


Решение задач по высшей математике. Следовательно, Решение задач по высшей математике (кв. ед.).


Задача 10


Даны вершины треугольной пирамиды Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике. Найти ее объем.


Решение


Имеем Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике. Найдем векторное произведение


Решение задач по высшей математике,

Решение задач по высшей математике.


Этот вектор скалярно умножим на вектор Решение задач по высшей математике:


Решение задач по высшей математике.


Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:

Решение задач по высшей математике

Решение задач по высшей математикеРешение задач по высшей математике.


Следовательно, объем:


Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике (куб. ед.).


Задача 11


Составить уравнение прямой, проходящей через точки Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике.


Решение


За первую вершину примем Решение задач по высшей математике (на результат это не влияет); следовательно,


Решение задач по высшей математике,

Решение задач по высшей математике,

Решение задач по высшей математике,

Решение задач по высшей математике.


Имеем


Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике,


Ответ: Решение задач по высшей математике - общее уравнение искомой прямой.

Задача 12


Составить уравнение прямой, проходящей через точку Решение задач по высшей математике, параллельно и перпендикулярно прямой Решение задач по высшей математике.


Решение


Найдем угловой коэффициент данной прямой: Решение задач по высшей математике. Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен Решение задач по высшей математике, а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых:

1) параллельной: Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике - общее уравнение прямой, параллельной данной;

2) перпендикулярной: Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике - общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной.


Задача 13


Найти расстояние между двумя параллельными прямыми Решение задач по высшей математике Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике Решение задач по высшей математике.


Решение


Выберем на одной из данных прямых точку Решение задач по высшей математике. Пусть Решение задач по высшей математике. Для определения координат точки Решение задач по высшей математике на прямой Решение задач по высшей математике одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём Решение задач по высшей математике; тогда Решение задач по высшей математике, Решение задач по высшей математике и Решение задач по высшей математике. По формуле расстояния от точки до прямой находим:


Решение задач по высшей математике; Решение задач по высшей математике.


Задача 14


Исследовать на абсолютную и условную сходимость


Решение задач по высшей математике.


Решение


Проверим выполнение условий теоремы Лейбница


а) Решение задач по высшей математике

б) Решение задач по высшей математике


(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.

Имеем:


Решение задач по высшей математике

Похожие рефераты: