Решение задач по высшей математике

точное значение функции в точке ;

приближенное значение функции в точке, исходя из её значения в точке , заменив приращение при переходе от точки к точке дифференциалом ;

относительную погрешность, возникающую при замене на .

Решение

По условию , , , . Поэтому , . Находим точное значение функции в точке :

.

Находим приближенное значение :

;

; .

Вычисляем относительную погрешность:

.

Задача 31

Найти экстремумы функции

.

Решение

Находим критические точки:

; ;

откуда и - точки, где частные производные равны нулю. Исследуем эти точки с помощью достаточных условий

;

;

;

;

. Поэтому экстремума в точке функция не имеет.

, . Поэтому функция в точке имеет минимум: .

Задача 32

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Возводим в квадрат числитель и почленно делим на знаменатель. Затем, применяя свойства, получаем первый интеграл таблицы:

.

Задача 33

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Принимая в подынтегральном выражении , , получим , . Поэтому

.

Проверка. .

Задача 34

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Сделав замену переменной

Получим

.

Задача 35

Вычислить .

Решение

Полагаем , ; тогда , .

Интегрируя по частям, находим

.

Задача 36

Вычислить

.

Решение

Положим . Подстановка значений и в уравнение дает и . Таким образом,

.

Задача 37

Найти .

Решение

По определению

.

Задача 40

Найти общее решение уравнения .

Решение

Так как

,

то данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении , получим уравнение или .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим

,

.

Проинтегрировав последнее уравнение, найдем

или .

Подставив , общее решение исходного уравнения запишем в виде , а после преобразования .

Задача 38

Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение

Составим ряд из абсолютных величин

,

По признаку Даламбера имеем:

,

следовательно , , , и на интервале ряд сходится.

Проверим его сходимость на концах интервала:

1) Пусть . Тогда - знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:

Задача 14

Вычислить с точностью до .

Решение

Разложив в ряд и поделив почленно на , получим:

.

Выбираем функцию такой, чтобы .

Тогда .

Интегрируем и находим или .

Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение

, , ; .

Следовательно, - общее решение заданного уравнения.

Задача 42

Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение

Составим характеристическое уравнение

. Так как и , то общим решением будет

.

Частное решение неоднородного уравнения подбирается в зависимости от вида функции .

Пусть , , представляет собой многочлен степени с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде:

,

где - многочлен той же степени, что и многочлен , но с неизвестными коэффициентами, а - число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Задача 43

Найти общее решение уравнения .

Решение

Ищем общее решение в виде , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения. Так как - многочлен первой степени и один корень характеристического уравнения , то частное решение надо искать в виде

.

Подберем коэффициенты и так, чтобы решение удовлетворяло данному уравнению

,

,

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим

Следовательно, , а - искомое общее решение.

Пусть . Тогда частное решение неоднородного уравнения , где - число корней характеристического уравнения, равных .

Задача 44

Найти общее решение уравнения