Інтегральні перетворення Лапласа

Вступ

В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж самого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням, коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії, що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш проста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма знов повертаються до числа. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.

1. Означення перетворення Лапласа. Оригінал і зображення.

Нехай f [ t] -інтегрована на (0,Т) при довільному Т>0 функція, що дорівнює нулю при t>0 : f[t]=0 при t<0. Якщо ця функція при t>0 задовольняє оцінці:

(1.1)

то можна розглянути інтеграл

(1.2)

Дійсно справджується оцінка

(1.3)

При виведенні (1.3) була застосована оцінка (1.1). З оцінки (1.3), зокрема, випливає, що . Функція є аналітичною функцією комплексної змінної в півплощині . Для того щоб це перевірити, знаходимо поки формально:

(1.4)

Як і при виведенні (1.3), знаходимо

(1.5)

Останнє означає що інтеграл рівномірно по Rep>a збігається і випливає що похідна існує при , і формула (1.4) справедлива при .

Інтеграл (1.2) називається перетворенням Лапласа функції і позначається -. В цьому випадку функція називається оригіналом, а функція – зображенням.

Перетворення Лапласа можна зв’язати з перетворенням Фур’є. Дійсно з (1.2) маємо:

Де (Перетворення Фур’є із знаком «-»)

2. Властивості перетворення Лапласа L

Лінійність.

Доведення:

В силу властивостей інтеграла:

Диференціювання зображення

Для m=1 властивість вже встановлено. Для довільного m властивість доводиться аналогічно.

Перетворення Лапласа похідних.

Для m=1 за допомогою інтегрування частинами знаходимо

При цьому ми врахували, що виконуються наступні оцінки:

При и . Для довільного m властивість 2.3 встановлюється за індукцією

Зсув перетворення Лапласа.

Доведення властивості 2.4 очевидно.

Перетворення Лапласа і його подібності.

Зсув оригінала в перетворенні Лапласа.

Доведення. Позначимо

Очевидно, що g’[t]=f[t], g[+0]=0

Тому за допомогою інтегрування частинами знаходимо

При цьому ми врахували що g[+0]=0 в силу умови (1.1)

при , , .

при , , .

Звідси знаходимо

Перетворення Лапласа дробу f[t]/t.

Доведення. Позначив Ф[p]=Ј[f[t]t][p] . Знайдемо

Останню рівність про інтегруємо по довільному шляху від р до довільної точки z=Rez=∞

Враховуючи, що в силу (1.3) Ф[∞]=0. І отримаємо потрібну властивість (2.8).

Перетворення Лапласа згортки f*g.

Доведення. Позначимо

Очевидно, що при t→∞

При довільному έ>0. Для доведення останньої нерівності ми використовуємо також оцінку.

Звідси при

Таким чином, при Rep>a

Тут ми скористалися теоремою Фуббіні і змінили порядок інтегрування.

3. Обчислення перетворення Лапласа основних функцій

1. f[t]=e. Rep>Reλ, λ

2. f[t]=Sin[ωt], ωR

За формулами Ейлера маємо

Sin[ωt]=

Тому за допомогою 1 маємо:

3. f[t]=cos[ωt], ω L[cos[ωt]][p]=

Доведення аналогічне.

4. f[t]=Sh[ωt], ωR

За означенням гіперболічних функцій Sh[ωt]= /2

5.

Доведення аналогічне.

6.

За властивістю 2.2 маємо:

Зокрема

7.

Як і у прикладі 6, знаходимо для функції

Застосуємо далі для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини, вважаючи р дійсним і додатнім.

(3.1)

(3.2)

4. Обернене перетворення Лапласа

Теорема 4.1(основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується формула подання:

(4.1)

Доведення

Розглянемо функцію . Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,∞) і диференційована в т. t>0. Розглядаючи F[p] перетворення Фур’є функції g[t] обернення перетворення Фур’є.

Після множення останньої рівності на отримаємо 4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено. ■

Теорема має недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивості вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].

Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>a що задовольняє умовам:

При будь-якому існує інтеграл:

Для

- дуги кола радіуса R з центром в точці (,0)

, при

Тоді, - це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 ()

Доведення

Розглянемо прямокутний контур (мал..4.1)

За теоремою Коши інтеграл Г[σ1, σ2, р] по контуру J1[σ1, σ2, р] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J1[σ1, σ2, р] при р→∞. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р→∞, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від вибору .

Доведемо, що побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що для інтеграла (4.1) справедлива оцінка

Звідси випливає, що інтеграл (4.1) рівномірно по збігається.

Доведемо, що f[t]=0, при t<0. Для цього розглянемо інтеграл по замкненому контуру в півплощині , що складається з дуги кола радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). За теоремою Коши :

В силу леми Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t<0 і R→∞. Інтеграл що залишився в границі переходить до інтегралу по прямій , дорівнює нулю при t<0. Покажемо нарешті що перетворення Лапласа в точці p=q( ) співпадає з F[q]. За допомогою формули Коши знаходимо при

■

При виведенні ми врахували що інтеграл по прямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром , так як

при R→∞

Лема Жордана. Нехай t>0 і - півколо радіуса R в півплощині . Якщо функція задовольняє умовам:

функція неперервна при , ,

Тоді при R→∞

Доведення

Зробимо заміну змінної інтегрування

z=R.

Тоді справедлива оцінка інтеграла

Як відомо, при . Продовжимо оцінку інтеграла

При R→∞. Лему доведено■

Задача Знайти перетворення Лапласа функції

(5.1)

Введена гамма-функція

Розглянемо спочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо

Нехай далі і . Для визначеності будемо вважати , (випадок розглядається аналогічно). Покладемо . Легко перевіряється що ps=t – додатне число.

Далі маємо:

(5.2)

де - відрізок променя . Побудуємо замкнений контур (мал. 5.1). За теоремою Коши:

Оцінимо інтеграл по дузі і кола радіуса R

при R→∞.

Перейдемо до границі при R→∞, →0 в рівності (5.3), отримуємо

Звідси і із 5.2 встановлюємо (5.1).

5. Приклади розв’язання базових задач

Зауваження. Функцією-оригіналом називається будь-яка комплексно значна функція f(t) дійсного аргументу t, що задовольняє умовам:

1°. f(t) інтегрована на будь-якому скінченому інтервалі вісі t (локально інтегрована).

2°.Для усіх від’ємних t

3°. f(t) зростає не швидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі і , що для усіх t

Задача1. Показати що функція є функцією-оригіналом.

Розв’язання

Дійсно, функція f(t)локально інтегрована

існує для будь-яких скінчених і . Умова 2° виконана в силу завдання функції.

І врешті решт, для будь-яких дійсних

,

Тобто в якості М в умові 3° можна вибрати довільне число >1

Задача2. Користуючись означенням, знайти означення функції

Розв’язання

Для функції