Xreferat.com » Рефераты по математике » Інтегральні перетворення Лапласа

Інтегральні перетворення Лапласа

Вступ


В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж самого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням, коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії, що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш проста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма знов повертаються до числа. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.


1. Означення перетворення Лапласа. Оригінал і зображення.


Нехай f [ t] -інтегрована на (0,Т) при довільному Т>0 функція, що дорівнює нулю при t>0 : f[t]=0 при t<0. Якщо ця функція при t>0 задовольняє оцінці:


Інтегральні перетворення Лапласа (1.1)


то можна розглянути інтеграл


Інтегральні перетворення Лапласа(1.2)


Дійсно справджується оцінка


Інтегральні перетворення Лапласа(1.3)


При виведенні (1.3) була застосована оцінка (1.1). З оцінки (1.3), зокрема, випливає, що Інтегральні перетворення Лапласа. Функція Інтегральні перетворення Лапласа є аналітичною функцією комплексної змінної Інтегральні перетворення Лапласа в півплощині Інтегральні перетворення Лапласа. Для того щоб це перевірити, знаходимо поки формально:


Інтегральні перетворення Лапласа(1.4)

Як і при виведенні (1.3), знаходимо


Інтегральні перетворення Лапласа(1.5)


Останнє означає що інтеграл рівномірно по Rep>a збігається і випливає що похідна Інтегральні перетворення Лапласаіснує при Інтегральні перетворення Лапласа, і формула (1.4) справедлива при Інтегральні перетворення Лапласа.

Інтеграл (1.2) називається перетворенням Лапласа функції Інтегральні перетворення Лапласа і позначається -Інтегральні перетворення Лапласа. В цьому випадку функція Інтегральні перетворення Лапласа називається оригіналом, а функція Інтегральні перетворення Лапласа – зображенням.

Перетворення Лапласа можна зв’язати з перетворенням Фур’є. Дійсно з (1.2) маємо:


Інтегральні перетворення Лапласа


Де Інтегральні перетворення Лапласа (Перетворення Фур’є із знаком «-»)


2. Властивості перетворення Лапласа L


Лінійність.


Інтегральні перетворення Лапласа


Доведення:

В силу властивостей інтеграла:

Інтегральні перетворення Лапласа


Диференціювання зображення


Інтегральні перетворення Лапласа


Для m=1 властивість вже встановлено. Для довільного m властивість доводиться аналогічно.

Перетворення Лапласа похідних.


Інтегральні перетворення Лапласа


Для m=1 за допомогою інтегрування частинами знаходимо


Інтегральні перетворення Лапласа


При цьому ми врахували, що виконуються наступні оцінки:


Інтегральні перетворення Лапласа


При Інтегральні перетворення ЛапласаІнтегральні перетворення Лапласа и Інтегральні перетворення Лапласа. Для довільного m властивість 2.3 встановлюється за індукцією

Зсув перетворення Лапласа.

Інтегральні перетворення Лапласа


Доведення властивості 2.4 очевидно.

Перетворення Лапласа і його подібності.


Інтегральні перетворення Лапласа

Інтегральні перетворення Лапласа


Зсув оригінала в перетворенні Лапласа.


Інтегральні перетворення Лапласа


Доведення. Позначимо


Інтегральні перетворення Лапласа


Очевидно, що g’[t]=f[t], g[+0]=0

Тому за допомогою інтегрування частинами знаходимо


Інтегральні перетворення Лапласа


При цьому ми врахували що g[+0]=0 в силу умови (1.1)


Інтегральні перетворення Лапласа


при Інтегральні перетворення Лапласа, Інтегральні перетворення Лапласа, Інтегральні перетворення Лапласа.


Інтегральні перетворення Лапласа


при Інтегральні перетворення Лапласа, Інтегральні перетворення Лапласа, Інтегральні перетворення Лапласа.

Звідси знаходимо


Інтегральні перетворення Лапласа


Перетворення Лапласа дробу f[t]/t.


Інтегральні перетворення Лапласа


Доведення. Позначив Ф[p]=Ј[f[t]t][p] . Знайдемо


Інтегральні перетворення Лапласа


Останню рівність про інтегруємо по довільному шляху від р до довільної точки z=Rez=∞


Інтегральні перетворення Лапласа


Враховуючи, що в силу (1.3) Ф[∞]=0. І отримаємо потрібну властивість (2.8).

Перетворення Лапласа згортки f*g.


Інтегральні перетворення Лапласа


Доведення. Позначимо


Інтегральні перетворення Лапласа


Очевидно, що Інтегральні перетворення Лапласа при t→∞


Інтегральні перетворення Лапласа


При довільному έ>0. Для доведення останньої нерівності ми використовуємо також оцінку.


Інтегральні перетворення Лапласа


Звідси при Інтегральні перетворення Лапласа


Інтегральні перетворення Лапласа


Таким чином, при Rep>a


Інтегральні перетворення Лапласа


Тут ми скористалися теоремою Фуббіні і змінили порядок інтегрування.


3. Обчислення перетворення Лапласа основних функцій


1. f[t]=eІнтегральні перетворення Лапласа. Rep>Reλ, λІнтегральні перетворення Лапласа

Інтегральні перетворення ЛапласаІнтегральні перетворення Лапласа

2. f[t]=Sin[ωt], ωІнтегральні перетворення ЛапласаR


За формулами Ейлера маємо


Sin[ωt]=Інтегральні перетворення Лапласа


Тому за допомогою 1 маємо:

Інтегральні перетворення Лапласа

3. f[t]=cos[ωt], ωІнтегральні перетворення Лапласа L[cos[ωt]][p]=Інтегральні перетворення Лапласа


Доведення аналогічне.


4. f[t]=Sh[ωt], ωІнтегральні перетворення ЛапласаR

За означенням гіперболічних функцій Sh[ωt]= Інтегральні перетворення Лапласа/2


Інтегральні перетворення Лапласа

5. Інтегральні перетворення Лапласа

Інтегральні перетворення Лапласа


Доведення аналогічне.


6. Інтегральні перетворення Лапласа


За властивістю 2.2 маємо:


Інтегральні перетворення Лапласа


Зокрема


Інтегральні перетворення Лапласа

7. Інтегральні перетворення Лапласа

Інтегральні перетворення Лапласа


Як і у прикладі 6, знаходимо для функції Інтегральні перетворення Лапласа


Інтегральні перетворення Лапласа


Застосуємо далі для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини, вважаючи р дійсним і додатнім.


Інтегральні перетворення Лапласа(3.1)

Інтегральні перетворення Лапласа (3.2)


4. Обернене перетворення Лапласа


Теорема 4.1(основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується формула подання:


Інтегральні перетворення Лапласа(4.1)


Доведення

Розглянемо функцію Інтегральні перетворення Лапласа. Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,∞) і диференційована в т. t>0. Розглядаючи F[p] перетворення Фур’є функції g[t] обернення перетворення Фур’є.


Інтегральні перетворення Лапласа


Після множення останньої рівності на Інтегральні перетворення Лапласаотримаємо 4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено. ■

Теорема має недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивості вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].

Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>a що задовольняє умовам:

При будь-якому Інтегральні перетворення Лапласа існує інтеграл:


Інтегральні перетворення Лапласа


Для


Інтегральні перетворення Лапласа


- дуги кола радіуса R з центром в точці (Інтегральні перетворення Лапласа,0)


Інтегральні перетворення Лапласа, при Інтегральні перетворення Лапласа


Тоді, Інтегральні перетворення Лапласа - це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 (Інтегральні перетворення Лапласа)

Доведення

Розглянемо прямокутний контур Інтегральні перетворення Лапласа (мал..4.1)

За теоремою Коши інтеграл Г[σ1, σ2, р] по контуру J1[σ1, σ2, р] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J1[σ1, σ2, р] при р→∞. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р→∞, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від вибору Інтегральні перетворення Лапласа.

Доведемо, що побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що для інтеграла (4.1) справедлива оцінка


Інтегральні перетворення Лапласа


Звідси випливає, що інтеграл (4.1) рівномірно по Інтегральні перетворення Лапласа збігається.

Доведемо, що f[t]=0, при t<0. Для цього розглянемо інтеграл Інтегральні перетворення Лапласапо замкненому контуру Інтегральні перетворення Лапласа в півплощині Інтегральні перетворення Лапласа, що складається з дуги кола Інтегральні перетворення Лапласа радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). За теоремою Коши :


Інтегральні перетворення Лапласа


В силу леми Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t<0 і R→∞. Інтеграл що залишився в границі переходить до інтегралу по прямій Інтегральні перетворення Лапласа, дорівнює нулю при t<0. Покажемо нарешті що перетворення Лапласа в точці p=q(Інтегральні перетворення Лапласа ) співпадає з F[q]. За допомогою формули Коши знаходимо при Інтегральні перетворення Лапласа


Інтегральні перетворення Лапласа


При виведенні ми врахували що інтеграл по прямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром Інтегральні перетворення Лапласа, так як


Інтегральні перетворення Лапласа при R→∞


Лема Жордана. Нехай t>0 і Інтегральні перетворення Лапласа - півколо радіуса R в півплощині Інтегральні перетворення Лапласа. Якщо функція Інтегральні перетворення Лапласа задовольняє умовам:

Інтегральні перетворення Лапласа функція Інтегральні перетворення Лапласа неперервна при Інтегральні перетворення Лапласа , Інтегральні перетворення Лапласа,Інтегральні перетворення Лапласа

Інтегральні перетворення Лапласа Інтегральні перетворення Лапласа

Тоді Інтегральні перетворення Лапласа при R→∞

Доведення

Зробимо заміну змінної інтегрування


z=RІнтегральні перетворення ЛапласаІнтегральні перетворення Лапласа.


Тоді справедлива оцінка інтеграла


Інтегральні перетворення Лапласа


Як відомо, при Інтегральні перетворення Лапласа Інтегральні перетворення Лапласа. Продовжимо оцінку інтеграла


Інтегральні перетворення Лапласа


При R→∞. Лему доведено■

Задача Знайти перетворення Лапласа функції Інтегральні перетворення Лапласа


Інтегральні перетворення Лапласа (5.1)


Введена гамма-функція


Інтегральні перетворення Лапласа


Розглянемо спочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо


Інтегральні перетворення Лапласа


Нехай далі Інтегральні перетворення Лапласа і Інтегральні перетворення Лапласа . Для визначеності будемо вважати Інтегральні перетворення Лапласа, Інтегральні перетворення Лапласа(випадок Інтегральні перетворення Лапласа розглядається аналогічно). Покладемо Інтегральні перетворення Лапласа. Легко перевіряється що ps=t – додатне число.

Далі маємо:


Інтегральні перетворення Лапласа (5.2)


де Інтегральні перетворення Лапласа- відрізок променя Інтегральні перетворення Лапласа. Побудуємо замкнений контур Інтегральні перетворення Лапласа (мал. 5.1). За теоремою Коши:


Інтегральні перетворення Лапласа


Оцінимо інтеграл по дузі Інтегральні перетворення Лапласа і кола радіуса R


Інтегральні перетворення Лапласа

Інтегральні перетворення Лапласа


при R→∞.

Перейдемо до границі при R→∞, Інтегральні перетворення Лапласа→0 в рівності (5.3), отримуємо


Інтегральні перетворення Лапласа


Інтегральні перетворення Лапласа

Звідси і із 5.2 встановлюємо (5.1).


5. Приклади розв’язання базових задач


Зауваження. Функцією-оригіналом називається будь-яка комплексно значна функція f(t) дійсного аргументу t, що задовольняє умовам:

1°. f(t) інтегрована на будь-якому скінченому інтервалі вісі t (локально інтегрована).

2°.Для усіх від’ємних t


Інтегральні перетворення Лапласа


3°. f(t) зростає не швидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі Інтегральні перетворення Лапласа і Інтегральні перетворення Лапласа, що для усіх t

Задача1. Показати що функція є функцією-оригіналом.


Інтегральні перетворення Лапласа

Інтегральні перетворення Лапласа

Інтегральні перетворення Лапласа


Інтегральні перетворення Лапласа



Розв’язання

Дійсно, функція f(t)локально інтегрована


Інтегральні перетворення Лапласа


існує для будь-яких скінчених Інтегральні перетворення Лапласа і Інтегральні перетворення Лапласа. Умова 2° виконана в силу завдання функції.

І врешті решт, для будь-яких дійсних Інтегральні перетворення Лапласа


Інтегральні перетворення Лапласа,


Тобто в якості М в умові 3° можна вибрати довільне число >1 Інтегральні перетворення Лапласа

Задача2. Користуючись означенням, знайти означення функції

Інтегральні перетворення Лапласа

Розв’язання

Для функції

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: