Xreferat.com » Рефераты по математике » Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический университет)


А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Учебно-методическое пособие


САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2005

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Г723


Учебно-методическое пособие дает возможность получить практические навыки анализа функций с помощью разложения в ряд Фурье или представления интегралом Фурье и предназначено для самостоятельной работы студентов дневной и заочной форм обучения специальностей.

В пособии рассмотрены основные вопросы операционного исчисления и широкий класс технических задач с применением основ операционного исчисления.


Научный редактор проф. А.П. Господариков


Рецензенты: кафедра высшей математики № 1 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета; доктор физ.-мат. наук В.М. Чистяков (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет).


Господариков А.П.

Г723. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление: Учебно-методическое пособие / А.П. Господариков, Г.А. Колтон, С.А. Хачатрян; Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2005. 102 с.


ISBN 5-94211-104-9

УДК 512 + 517.2 (075.80)

ББК 22.161.5

Введение


Из теории Фурье известно, что при некотором воздействии на физические, технические и другие системы, его результат повторяет форму начального входного сигнала, отличаясь только масштабным коэффициентом. Понятно, что на такие сигналы (их называют собственными) система реагирует наиболее простым образом. Если произвольный входной сигнал есть линейная комбинация собственных сигналов, а система линейна, то реакция системы на этот произвольный сигнал есть сумма реакций на собственные сигналы. И поэтому полную информацию о системе можно получить по «кирпичикам» – откликам системы на собственные входные сигналы. Так поступают, например, в электротехнике, когда вводят частотную характеристику системы (передаточную функцию). Для наиболее простых линейных, инвариантных во времени систем (например, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами) в некоторых случаях собственными функциями являются гармоники вида Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Таким образом можно получить и результат произвольного воздействия на систему, если последний будет представлен в виде линейной комбинации гармоник (в общем случае, в виде ряда Фурье или интеграла Фурье). Вот одна из причин, по которой в теории и приложениях возникает потребность применения понятия тригонометрического ряда (ряда Фурье) или интеграла Фурье.

Глава 1. Ряды Фурье


§ 1. Векторные пространства


Здесь приведены краткие сведения из векторной алгебры, необходимые для лучшего понимания основных положений теории рядов Фурье.

Рассмотрим множество W геометрических векторов (векторное пространство), для которого обычным образом введены понятие равенства векторов, линейные операции (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число) и операции скалярного умножения векторов.

Введем в пространстве W ортогональный базис, состоящий из трех попарно ортогональных векторов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Произвольный вектор Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является линейной комбинацией векторов базиса:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (1.1)


Коэффициенты li (i = 1, 2, 3), называемые координатами вектора Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление относительно базиса Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, могут быть определены следующим образом. Скалярное произведение вектора Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и одного из векторов базиса Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


В силу ортогональности базиса скалярные произведения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, следовательно, в правой части последнего равенства отлично от нуля лишь одно слагаемое, соответствующее Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, поэтому Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, откуда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (1.2)

где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Если векторы Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление заданы своими координатами Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то их скалярное произведение


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Так как при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениескалярное произведение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то в двойной сумме отличны от нуля лишь слагаемые с равными индексами, поэтому


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (1.3)


В частности при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление из (1.3) следует

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (1.4)


§ 2. Скалярное произведение и норма функций


Обозначим символом Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление множество функций, кусочно-непрерывных на промежутке [a, b], т.е. функций, имеющих на промежутке [a, b] конечное число точек разрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка.

Скалярным произведением функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется число


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов:


1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

2. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения.

Функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называются ортогональными Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на [a, b], если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Нормой функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на промежутке [a, b] называется неотрицательное число Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, квадрат которого равен скалярному произведению функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на себя:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Свойства нормы функции во многом совпадают со свойствами модуля вектора:

1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

2. Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление непрерывна на [a, b] и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


откуда Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Дифференцируя последнее соотно- шение по Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и применяя теорему Барроу, получим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и, сле-довательно, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. теорема косинусов


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Следствие. Если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (теорема Пифагора).


4. Обобщенная теорема Пифагора. Если функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление(k = = 1, 2, …, n) попарно ортогональны на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Используя свойство билинейности скалярного произведения, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


В силу ортогональности функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление скалярные произведения Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, поэтому

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


5. неравенство Коши – Буняковского Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, или, что то же самое,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


При любых вещественных Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Таким образом, квадратный трехчлен в левой части последнего неравенства сохраняет знак на всей вещественной оси, следовательно, его дискриминант Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Упражнение 1. Доказать свойства скалярного произведения функций 1-3.

Упражнение 2. Показать справедливость следующих утверждений:

а) функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ортогональна функциям Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при любых целых k и m;

б) при любых целых k и m функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеортогональны на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

в) функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, а также Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ортогональны на промежутках Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;

г) функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление не ортогональны на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Упражнение 3. Используя свойство нормы 5, доказать неравенство треугольника

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье


Счетное множество непрерывных на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление образуют на этом промежутке ортогональную систему, если


1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, 2. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Пусть Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – ортогональная система функций на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. По аналогии с (1.2) образуем величины


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (3.1)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Числа Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называются коэффициентами Фурье функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление относительно ортогональной системы Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Ряд

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (3.2)


называется рядом Фурье для функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

В отличие от того, что имеет место в векторной алгебре [см. (1.1)], здесь нельзя утверждать ни того, что суммой ряда Фурье (3.2) является заданная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, ни даже того, что ряд (3.2) вообще сходится. Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемые полиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление линейными комбинациями функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Термином аппроксимация будем обозначать замену заданной функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление другой, близкой к Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, функцией Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, более простой или более удобной для исследования. При этом, естественно, возникает вопрос о величине погрешности, связанной с такой заменой. Погрешность аппроксимации обычно оценивается с помощью среднего квадратического отклонения


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


или более простой величины


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Ясно, что чем меньше величина δ, тем ближе располагаются друг к другу графики функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, тем лучше функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление аппроксимирует функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Определим, при каком наборе коэффициентов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление линейная

Похожие рефераты: