Xreferat.com » Рефераты по математике » Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление" width="53" height="25" align="BOTTOM" border="0" />.

3. Система функций (9.6) ортогональна на промежутке [–L, L]. Действительно, при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Здесь использована формула Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Ряд Фурье для функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление по системе функций (9.6) имеет вид

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (9.7)


где коэффициенты Фурье


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (9.8)


Система функций (9.6) замкнута на [–L, L] (принимаем без доказательства), поэтому для нее справедливы следующие утверждения:

а) ряд (9.7) сходится в среднем к Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,

б) для любой функции из Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление выполняется равенство Парсеваля Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,

в) среднеквадратическая погрешность, возникающая при замене функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление частичной суммой Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ее ряда Фурье,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Теорема Дирихле. Если вещественная и мнимая части функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление удовлетворяют на промежутке [–L, L] условиям Дирихле, то функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является суммой своего ряда Фурье:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (9.9)


При этом предполагается, что действуют прежние соглашения относительно значений функции в точках разрыва и на концах промежутка (см. § 3).

Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (9.4). Доказать, что из (9.4) следует неравенство Бесселя Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Упражнение 2. Доказать справедливость утверждений 1, 2 и 4.


§ 10. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье


Пусть вещественная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L, L]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (10.1)


где


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (10.2)


Если в (10.1) выразить Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление через показательную функцию от мнимого аргумента:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

то получим ряд


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (10.3)


где в силу (10.2)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Последние три формулы можно объединить:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (10.4)


Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Разложить функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Решение. Найдем коэффициенты Фурье:

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Поскольку Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Искомое разложение будет иметь вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (10.5)


где учтено, что


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (10.6)


можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Тогда из (10.6) следует


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Упражнение 1. Доказать, что


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Указание. Положить в (10.5) х = 0 и х = p.

Упражнение 2. Доказать, что при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Глава 2. Интеграл Фурье


§ 11. Сходимость интеграла Фурье


Пусть функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [–L, L] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (11.1)


где


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; (11.2)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – частота k-й гармоники; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (11.3)


При Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление величина Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление по переменной w в промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление вместо ряда получим интеграл

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (11.4)


Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье.

Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.

Теорема. Пусть функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. интеграл Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (–L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.


§ 12. Преобразование Фурье


Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (12.1)


Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениенепрерывна на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Действительно, так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (12.2)


и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно w. Отсюда и следует, что функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).

Из (11.4) получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (12.3)


Комплексная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. В свою очередь, формула (12.3) определяет Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Равенство (12.3) при заданной функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при заданной Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление дает формула (12.3).

В формуле (12.3) выражение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и суммарной комплексной амплитудой Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление,


можно трактовать, как разложение функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Равенства Парсеваля. Пусть Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеи Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – Фурье-образы вещественных функций Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление соответственно. Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; (12.4)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (12.5)


т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Заменив функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление ее выражением (12.3) через Фурье-образ Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


В силу (12.1)


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Поэтому Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, также является вещественной четной функцией. Действительно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (12.6)


Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.

Из (12.6) следует, что функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление вещественна и четным образом зависит от w, так как w входит в (12.6) только через косинус.

Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

=Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Так какРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – соответственно четная и нечетная функции переменной w, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (12.7)


Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.

Аналогично, если вещественная функция Ряды Фурье.
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: