Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление
; (12.8)
. (12.9)
Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.
Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции только для . Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке . В этом случае при интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.
Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные «неберущиеся» интегралы.
Пример 1. Вычислить интеграл Лапласа .
Решение. Найдем Фурье-образ функции где :
.
С помощью формулы обратного преобразования Фурье
получим
или
.
Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому
.
Пример 2. Вычислить разрывной множитель Дирихле , если .
Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции
получим
;
.
Таким образом,
В частности интеграл Дирихле
.
Пример 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона .
Решение. Сначала вычислим интеграл , применив к функции , где , преобразование Фурье и введя замену
=;
.
Отсюда , и, следовательно, с заменой можно записать
.
Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы
; .
Упражнение 2. Доказать, что
,
используя равенство Парсеваля.
§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье
Тот факт, что функция является Фурье-образом функции , будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: .
Свойства преобразования Фурье:
1. Теорема линейности. , где . Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.
2. Теорема подобия. , где . Обозначив , получим
3. Теорема смещения. , где . Введя замену , получим
.
Следствие.
, (13.1)
где . Действительно,
.
4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций и называется функция
.
Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на : .
Так как по определению
,
то, выполнив во внутреннем интеграле замену , получим
=
==,
что и требовалось доказать.
5. Теорема об образе производной. Пусть функция и ее производная абсолютно интегрируемы на промежутке . По формуле Ньютона – Лейбница
.
Так как производная интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при . Следовательно, существует конечный предел . При этом , ибо в противном случае функция была бы неинтегрируемой на промежутке . Точно также доказывается, что .
Введем в рассмотрение Фурье-образ производной
.
Выполнив интегрирование по частям, получим
.
Так как внеинтегральный член равен нулю, то
.
Таким образом, операции дифференцирования функции соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель . Аналогично, если функция имеет абсолютно интегрируемые производные до n-го порядка включительно, то
, .
Следствия. 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.
2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.
Пример 1. Доказать, что
, (13.2)
где .
Решение. Положим
Тогда
Таким образом,
,
и по теореме о свертке
.
Пример 2. Найти решение уравнения
(13.3)
при , удовлетворяющее начальному условию
. (13.4)
Замечание. Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.
Решение. Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на , проинтегрируем его по х от до . Тогда
или
, (13.5)
где – Фурье-образ функции .
Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:
.
Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции переменной t, где w – параметр.
Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):
. (13.6)
Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция
.
С помощью (12.3) находим – прообраз функции :
. (13.7)
Последний интеграл в (13.7) равен . Поэтому
.
По теореме о свертке
,
или
. (13.8)
Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона.
Пример 3. Найти решение волнового уравнения
, (13.9)
удовлетворяющее начальным условиям
. (13.10)
Замечание. Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией , физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны – это отклонение струны от ее равновесного положения, функции j(х) и задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа , где