Xreferat.com » Рефераты по математике » Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

src="https://xreferat.com/image/54/1306496632_473.gif" alt="Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление" width="14" height="17" align="BOTTOM" border="0" />и r – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – скорость возмущенного движения в точке Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в момент времени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление; Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – скорость звука в невозмущенной среде и т.д.

Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


где w – параметр.

Решение задачи имеет вид


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (13.11)

Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Тогда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. (13.12)


При Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление возмущение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление сохраняет постоянное значение Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, если переменные Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление связаны зависимостью: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Иными словами, возмущенное состояние Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Поэтому говорят, что функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а – это скорость распространения возмущений в среде.

Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление есть результат сложения волн Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, вышедших в момент времени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление из точек с координатами Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление соответственно.

Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее:

1. Произвольную функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление можно представить в виде «суммы» гармоник; если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление задана на всей числовой оси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зрения приложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости, скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виде линейной суперпозиции гармонических колебаний.

2. В представлении формулы Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в виде ряда или интеграла Фурье естественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.

Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).

Глава 3. Операционное исчисление


§ 14. Преобразование Лапласа


Понятие оригинала. Кусочно-непрерывная функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется оригиналом, если выполняются следующие условия:

1) Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление для всех отрицательных t;

2) при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениерастет не быстрее экспоненты, т.е. существуют такие постоянные M > 0 и c > 0, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление для всех t.

Число с называется показателем роста Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. очевидно, что для ограниченных оригиналов показатель роста можно считать равным нулю.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Если функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые в этой главе функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Легко видеть, что оригиналами являются такие функции, как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и т.п.

Можно доказать, что сумма, разность и произведение оригиналов являются оригиналами и что оригиналом является функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (доказательства следует найти самостоятельно).

Замечание. Из этих утверждений следует, что многочлены произвольной степени Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, а также функции вида Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление являются оригиналами.

Интеграл Лапласа. Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, (14.1)


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – комплексный параметр.

Теорема. Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости Пс: Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где с – показатель роста f (t). В самом деле, по определению оригинала имеем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Таким образом, интеграл (14.1) мажорируется сходящимся интегралом Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, и, следовательно, сходится абсолютно в Пс.

Замечание. При доказательстве теоремы получено используемое в дальнейшем неравенство:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (14.2)


Преобразование Лапласа. Интеграл Лапласа


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (14.3)


представляет собой функцию параметра p, определенную в полуплоскости Пс:Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление называется Лаплас-образом (изображением по Лапласу) оригинала Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тот факт, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление есть Лаплас-образ Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, обозначается Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление или Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Соотношение (14.3), устанавливающее связь между оригиналом и его Лаплас-образом, называется преобразованием Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа следующие:

1. Теорема линейности. При любых постоянных Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление и Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Это утверждение вытекает из определения (14.3) и свойств интегралов.

2. Имеет место Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, что непосредственно следует из неравенства (14.2).

3. Теорема подобия. Для любого Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Действительно, полагая Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


4. теорема смещения. Для любого а Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Действительно,


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


5. теорема запаздывания. Для любого Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. По определению преобразования Лапласа имеем

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Здесь учтено, что Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Выполнив в последнем интеграле замену Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Обратное преобразование Лапласа. Установим связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Так как при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление оригинал Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениеРяды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление – показатель роста Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Интеграл в правой части последней формулы есть интеграл Фурье для Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Таким образом, Лаплас-образ функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является Фурье-образом функции Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Из формулы обратного преобразования Фурье получим, что в точках непрерывности Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Отсюда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (14.4)

Если в точке t функция Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление терпит разрыв, то значение интеграла в (14.4) равно полусумме односторонних пределов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление в этой точке.

Формула (14.4) определяет обратное преобразование Лапласа, с помощью которого оригинал однозначно восстанавливается по своему изображению с точностью до значений в точках разрыва.


§ 15. Изображения простейших функций


Единичная функция Хевисайда. Имеем:


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Так как при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчислениепо теореме запаздывания получим


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Экспонента. По теореме смещения


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Гиперболические и тригонометрические функции. В силу линейности преобразования Лапласа имеем

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление;


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Степенная функция с натуральным показателем. Положим Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, где Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление. Тогда при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


При Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, поэтому


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Отсюда


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.

Так как Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, то

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление


Упражнение 1. Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы оригиналов Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Периодические функции. Если оригинал Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление является Т-периодической функцией, то его изображение по Лапласу


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление (15.1)


Действительно, в этом случае


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Выполнив замену Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление, в силу периодичности Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление будем иметь


Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление.


Ряд в правой части последнего равенства представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Так как при Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление Ряды Фурье. Интеграл
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: