Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Операционное исчисление

По теореме запаздывания

.

Окончательно,

Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях . Операторное решение в этом случае имеет вид

.

Пусть весовая функция – оригинал для . тогда по теореме 1 § 16 получим

. (18.7)

Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.

Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию , полагая

(18.8)

где – начальные значения искомого решения .

Как легко видеть, , и следовательно, .

Таким образом, функция – решение уравнения (18.1) с правой частью , полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.

Используя (18.7), найдем и .

Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши

с начальными условиями .

Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), . Тогда , и для определения получим уравнение с однородными начальными условиями.

Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен , весовая функция . По формуле Дюамеля

.

Окончательно,

.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид

, (18.9)

где – вектор искомых функций; – вектор правых частей; – матрица коэффициентов; – вектор начальных данных.

Переходя в (18.9) к изображениям, получим операторную систему

, (18.10)

где – Лаплас-образы векторов искомых функций и правых частей соответственно.

Из (18.10) находим операторное решение

, (18.11)

где ; Е – единичная матрица.

Оригинал операторного решения(18.11) является решением исходной задачи Коши (18.9).

Обозначим весовую матрицу, т.е. матрицу-оригинал для , где Тогда из (18.11) в соответствии с теоремой 1 § 16 будем иметь

. (18.12)

При нулевых начальных условиях

. (18.13)

Соотношение (18.13) представляет собой матричный аналог интеграла Дюамеля.

Пример 5. Найти решение задачи Коши

с начальными условиями .

Решение. Запишем систему и начальные условия в матричной форме:

,

где . Тогда

;

.

Окончательно, по формуле (18.12) получим

или

Замечание. Формулы (18.12) и (18.13) имеют большое теоретическое значение, поскольку позволяют исследовать поведение решения системы дифференциальных уравнений в зависимости от начальных данных и правых частей. Однако для практического применения эти формулы мало пригодны, так как зачастую требуют проведения громоздких выкладок, связанных с вычислением обратных матриц, матричных сверток и т.п. Поэтому на практике обычно применяют операторный метод, не переходя к матричной записи системы уравнений, а при решении операторной системы используют конкретные особенности исследуемой задачи.

Пример 6. Решить задачу Коши:

с начальными условиями .

Решение. Перейдем в данной системе к изображениям. С учетом начальных условий будем иметь

Запишем решение операторной системы

.

Тогда

.

§ 19. Приложения

Электрические цепи. Основными элементами электрических цепей являются сопротивления, индуктивности и емкости (конденсаторы). Каждый из этих элементов называются двухполюсником, поскольку он обладает двумя контактами (полюсами), которые соединяются с полюсами других элементов цепи. Электрическое состояние двухполюсника в каждый момент времени определяется двумя величинами: силой тока (током) , проходящего через двухполюсник, и падением напряжения (напряжением) на его полюсах. Для каждого двухполюсника функции и связаны некоторым соотношением, представляющим собой физический закон, управляющий работой двухполюсника.

Для сопротивления имеет место закон Ома

,

где – сопротивление двухполюсника.

Для индуктивности справедливо соотношение

,

где – индуктивность двухполюсника.

Для конденсатора выполняется соотношение

,

где С – емкость конденсатора; – начальный заряд на его обкладках.

В дальнейшем будем считать, что в начальный момент времени цепь была свободна от токов и зарядов, что соответствует задачам включения.

Если ввести операторный ток и операторное напряжение как изображения функций и соответственно, то вышеприведенные уравнения, управляющие работой двухполюсников, перейдут в следующие:

.

Последние соотношения могут быть записаны в виде операторного закона Ома

,

где операторное сопротивление (импеданс) в случае активного сопротивления, индуктивности и емкости принято в виде соответственно . Величину, обратную , называют операторной проводимостью (адмитансом) двухполюсника.

При последовательном соединении двух двухполюсников с операторными сопротивлениями и имеем ; и , откуда , и следовательно, импеданс цепи . Аналогично, при параллельном соединении двух элементов с адмитансами и получим , , , откуда , и следовательно, адмитанс цепи .

Таким образом, в задачах включения операторные сопротивления и проводимости цепей рассчитываются по обычным правилам соединения активных сопротивлений. Например, если цепь состоит из последовательно соединенных сопротивления , индуктивности и емкости , шунтированной сопротивлением , то ее импеданс .

Если электрическая цепь с адмитансом включена на эдс , то операторный ток в ней определяется соотношением , .

Как правило, операторная проводимость цепи представляет собой рациональную дробь, полюсы (корни знаменателя) которой расположены в левой полуплоскости , что, как следует из теоремы Хевисайда, гарантирует устойчивость системы, т.е. исключает возможность возникновения в такой системе незатухающих свободных колебаний.

Если эдс является ограниченной функцией времени, то полюсы функции имеют неотрицательные вещественные части, и следовательно (см. замечание 2 к теореме Хевисайда), по истечении достаточно длительного промежутка времени в системе устанавливается стационарный режим, при котором ток

,

где ; – чисто мнимые полюсы функции с положительными мнимыми частями; – мнимая единица. Здесь, как и ранее, предполагаем, что функция не имеет кратных полюсов.

Представим эдс тригонометрическим рядом Фурье . Тогда

;

;,

следовательно,

.

Положим

,

где – амплитуда гармоники с частотой , bk – ее начальная фаза;