Xreferat.com » Рефераты по математике » Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:

а) ровно 2 изделия;

б) не более 2 изделий.

Решение.

А)

Используя классическое определение вероятности:

Вычисления по теории вероятностей

Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;

m – кол-во благоприятных исходов события А;

n – количество всех возможных исходов;


Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей


Б)

Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,


Вычисления по теории вероятностей;

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей – кол-во благоприятных исходов события Вычисления по теории вероятностей;

Вычисления по теории вероятностей – кол-во благоприятных исходов события Вычисления по теории вероятностей;

Вычисления по теории вероятностей – кол-во благоприятных исходов события Вычисления по теории вероятностей;

n’ – количество всех возможных исходов;


Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей


Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.

Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.

Решение.

По формуле полной вероятности:


Вычисления по теории вероятностей

где А – взятие хорошей детали, Вычисления по теории вероятностей – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, Вычисления по теории вероятностей – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, Вычисления по теории вероятностей – вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, Вычисления по теории вероятностей – вероятность попадания на сборку небракованной детали.

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей; (т. к. Вычисления по теории вероятностей) = 1% = 0.01)

Вычисления по теории вероятностей;

Вычисления по теории вероятностей;


Вычисления по теории вероятностей


Вычисления по теории вероятностей

Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.

Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.

Решение.

По формуле полной вероятности:

Вычисления по теории вероятностей


где А’ – взятие бракованной детали, Вычисления по теории вероятностей – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, Вычисления по теории вероятностей – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, Вычисления по теории вероятностей – вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, Вычисления по теории вероятностей – вероятность попадания на сборку бракованной детали.

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей; (согласно условию)

Вычисления по теории вероятностей;

Вычисления по теории вероятностей;


Вычисления по теории вероятностей


Вычисления по теории вероятностей

Согласно формуле Байеса:


Вычисления по теории вероятностей


Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.

Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна Вычисления по теории вероятностей. Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?

Решение.

Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков:


Вычисления по теории вероятностей


где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену.


Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей.


Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.


Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять Вычисления по теории вероятностей= 0,05.

Все промежуточные вычисления поместить в таблице.


Магазин №1 Магазин №2
20,35 20,01
20,60 23,55
32,94 25,36
37,56 30,68
40,01 35,34
25,45 23,20

Пусть, a1 – товарооборот в 1 магазине, a2 – товарооборот во 2 магазине.

Формулируем гипотезы Н0 и Н1:

Н0: a1 = a2

Н1: a1 ≠ a2



xi xi-a1 (xi-a1)2 yi yi-a2 (yi-a2)2

20,35 -9,135 83,44823 20,01 -6,35 40,32

20,6 -8,885 78,94323 23,55 -2,81 7,896

32,94 3,455 11,93703 25,36 -1 1

37,56 8,075 65,20563 30,68
18,66

40,01 10,525 110,7756 35,34 4,32 80,64

25,45 -4,035 16,28123 23,20 8,98 9,98
176,91
366,591 158,14 -3,16 158,496

a1 = Вычисления по теории вероятностей = Вычисления по теории вероятностей = 29,485, a2 = Вычисления по теории вероятностей = Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей 1 = Вычисления по теории вероятностей = Вычисления по теории вероятностей 73.32

Вычисления по теории вероятностей 2 = Вычисления по теории вероятностей = Вычисления по теории вероятностей


n 1 = n 2 = n =6

Вычислю выборочное значение статистики:


ZВ = Вычисления по теории вероятностей *Вычисления по теории вероятностей = Вычисления по теории вероятностей


Пусть Вычисления по теории вероятностей= 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: Вычисления по теории вероятностей(n1+n2-2)= 2.228.

Следовательно, так как ZВ=0,74 < Вычисления по теории вероятностей=2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0, потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.

Задача 6. По данному статистическому ряду:

Построить гистограмму частот.

Сформулировать гипотезу о виде распределения.

Найти оценки параметров распределения.

На уровне значимости Вычисления по теории вероятностей = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины.

Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.


Интервал Частота случайной величины
1 – 2 5
2 – 3 8
3 – 4 19
4 – 5 42
5 – 6 68
6 -7 44
7 – 8 21
8 – 9 9
9 – 10 4

1. Гистограмма частот:


Вычисления по теории вероятностей


2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.

3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:


Интервалы

Частота,

mi

Середина

Интервала, xi

xi*mi xi2*mi
1 1–2 5 4,5 7,5 112,5
2 2–3 8 2,5 20 50
3 3–4 19 3,5 66,5 232,75
4 4–5 42 4,5 189 350,5
5 5–6 68 5,5 374 2057
6 6–7 44 6,5 286 1859
7 7–8 21 7,5 157,5 1181,25
8 8–9 9 8,5 76,5 650,25
9 9–10 4 9,5 38 361

n=220
1215 7354,25

Найдем оценки параметров распределения:

Вычисления по теории вероятностей = Вычисления по теории вероятностей = 5,523


Вычисления по теории вероятностей2= Вычисления по теории вероятностей 2 = 2,925 Вычисления по теории вероятностей = Вычисления по теории вероятностей = 1,71


4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.


Интервалы Частоты, mi t1 t2 Ф(t1) Ф(t2) pi
1 -∞ – 2 5 -∞ -2,06 0 0,0197 0,0197
2 2–3 8 -2,06 -1,47 0,0197 0,0708 0,0511
3 3–4 19 -1,47 -0,89 0,0708 0,1867 0,1159
4 4–5 42 -0,89 -0,31 0,1867 0,3783 0,1916
5 5–6 68 -0,31 0,28 0,3783 0,6103 0,232
6 6–7 44 0,28 0,86 0,6103 0,8051 0,1948
7 7–8 21 0,86 1,45 0,8051 0,9265 0,1214
8 8–9 9 1,45 2,03 0,9265 0,9788 0,0523
9 9-∞ 4 2,03 0,9788 1 0,0212

Где: t1= Вычисления по теории вероятностей, t2 = Вычисления по теории вероятностей, ai, bi – границы интервала, Ф(t) – Функция распределения Вычисления по теории вероятностей нормального закона.

pi = Ф(t2) – Ф(t1)

Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию Вычисления по теории вероятностей, составляем еще одну таблицу для вычислений:


№ интервала pi mi n* pi

Вычисления по теории вероятностей

1

2

0,0708 13 15,57 0,4242
3 0,1159 19 25,5 1,6569
4 0,1916 42 42,15 0,0005
5 0,232 68 51,04 5,6336
6 0,1948 44 42,86 0,0303
7 0,1214 21 26,71 1,2207

8

9

0,0735 13 16,17 0,6214



9,5876

Согласно расчетам, Вычисления по теории вероятностей= Вычисления по теории вероятностей = 9,5876

Выбираем уровень значимости Вычисления по теории вероятностей = 0,05 и вычисляем Вычисления по теории вероятностей1-α (k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении.

Вычисления по теории вероятностей0,95(7–2–1) = Вычисления по теории вероятностей0,95(4) = 9,49.

Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.

Задача 7. По данным выборки вычислить:

а) выборочное значение коэффициента корреляции;

б) на уровне значимости Вычисления по теории вероятностей = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

Решение

Формулируем гипотезы Н0 и Н1:

Н0: a1 = a2

Н1: a1 ≠ a2



xi xi-a1 (xi-a1)2 yi yi-a2 (yi-а2)2 xi*yi

4,40 -0,476 0,2266 3,27 -0,47 0,2209 14,388

5,08 0,204 0,0416 4,15 0,41 0,1681 21,082

4,01 -0,866 0,7499 2,95 -0,79 0,6241 11,829

3,61 -1,266 1,6027 1,96 -1,78 3,1684 7,075

6,49 1,614 2,605 5,78 2,04 4,1616 37,512

4,23 -0,646 0,4173 3,06 -0,68 0,4824 12,944

5,79 0,914 0,8354 4,45 0,71 0,5041 25,765

5,52 0,644 0,4147 4,23 0,49 0,2401 23,349

4,68 -0,196 0,0384 3,54 -0,2 0,04 16,567

4,95 0,074 0,0055 4,01 0,27 0,0729 19,849
48,76 - 6,9371 37,4 - 9,6626 190,36

a1 = Вычисления по теории вероятностей = 4,876, a2 = Вычисления по теории вероятностей = 3,74

Вычисления по теории вероятностей 1 = Вычисления по теории вероятностей = 0,7708

Вычисления по теории вероятностей 2 = Вычисления по теории вероятностей = 1,0736

n 1 = n 2 = n =6

а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции


Вычисления по теории вероятностей=Вычисления по теории вероятностей


б) Проверим на уровне значимости Вычисления по теории вероятностей=0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции:

Вычисления по теории вероятностей(n-2)=2,306

Вычислим величину


Вычисления по теории вероятностей=Вычисления по теории вероятностей


получаем, что Вычисления по теории вероятностей>0.6319 т.е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.

Задача 8. По данным выборки найти:

а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

б) с доверительной вероятностью р =1-Вычисления по теории вероятностей найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.


α x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
0.01 3,85 8,87 21,26 6,72 0,29 15,48 7,48 0,33 0,34 1,37

Решение

а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.


xi mi mixi mixi2
3,85 1 3,85 14,822
8,87 1 8,87 78,677
21,26 1 21,26 451,987
6,72 1 6,72 45,158
0,29 1 0,29 0,0840
15,48 1 15,48 239,630
7,48 1 7,48 55,950
0,33 1 0,33 0,109
0,34 1 0,34 0,115
1,37 1 1,37 1,877
∑65,99 10 65,99 888,409

Математическое ожидание:


m=Вычисления по теории вероятностей=Вычисления по теории вероятностей


Дисперсия:


δ2=Вычисления по теории вероятностей=Вычисления по теории вероятностей


б) с доверительной вероятностью р =1-Вычисления по теории вероятностей найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.

Вычисления по теории вероятностей

Определим из таблиц значение Вычисления по теории вероятностей, где Вычисления по теории вероятностей; Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:


Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей


Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:

0,271<M<12.927

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:


Вычисления по теории вероятностей


Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей

Вычисления по теории вероятностей


Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: