Xreferat.com » Рефераты по математике » Ряды и интеграл Фурье

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Ряды и интеграл Фурье

ГЛАВА 1

РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

 

Основные сведения

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число Ряды и интеграл Фурье, что при любом значении х выполняется равенство Ряды и интеграл Фурье. Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период Ряды и интеграл Фурье.

3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство Ряды и интеграл Фурье.

 

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке Ряды и интеграл Фурье в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

Ряды и интеграл Фурье (1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

Ряды и интеграл Фурье

Ряды и интеграл Фурье

Ряды и интеграл Фурье , где n=1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а Ряды и интеграл Фурье коэффициентами ряда Фурье.

Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка Ряды и интеграл Фурье разрыва функции Ряды и интеграл Фурье называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если Ряды и интеграл Фурье периодическая с периодом Ряды и интеграл Фурье функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [Ряды и интеграл Фурье] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом Ряды и интеграл Фурье , которая на отрезке [Ряды и интеграл Фурье] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

 

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

Ряды и интеграл Фурье=Ряды и интеграл Фурье

Ряды и интеграл Фурье=Ряды и интеграл Фурье

Ряды и интеграл Фурье= 0Ряды и интеграл Фурье , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

Ряды и интеграл Фурье

Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).

Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

Ряды и интеграл Фурье , где n=1,2, . . .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Ряды и интеграл Фурье

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежуткеРяды и интеграл Фурье то Ряды и интеграл Фурье

, где Ряды и интеграл ФурьеРяды и интеграл Фурье,

Ряды и интеграл Фурье,

Ряды и интеграл Фурье,

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.

Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.

 

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций

Последовательность функций Ряды и интеграл Фурье непрерывных на отрезке [a,b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a,b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

Ряды и интеграл Фурье Ряды и интеграл Фурье

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a,b],

если выполняется условие

Ряды и интеграл Фурье

Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a,b] по ортогональной системе называется ряд:

Ряды и интеграл Фурье

коэффициенты которого определяются равенством:

Ряды и интеграл Фурье n=1,2,...

Если ортогональная система функций на отрезке [a,b] ортонормированная, то в этом случаи

Ряды и интеграл Фурье где n=1,2,...

Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке

по ортогональной системе называется ряд:

Ряды и интеграл Фурье,

Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a,b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a,b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).

 

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение Ряды и интеграл Фурье называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если Ряды и интеграл Фурье определяется равенством

Ряды и интеграл Фурье, где Ряды и интеграл Фурье

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

Ряды и интеграл Фурье Ряды и интеграл Фурье (n=1,2, . . .)

 

Задача о колебании струны

Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

Ряды и интеграл Фурье

При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x,t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению

Ряды и интеграл Фурье (1) , где а - положительное число.

Наша з а д а ч а - найти функцию u(x,t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных:

Ряды и интеграл Фурье (2)

и начальных условиях:

Ряды и интеграл Фурье (3)

Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, что u(x,t)Ряды и интеграл Фурье0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t), (4) , где Ряды и интеграл Фурье, Ряды и интеграл Фурье.

Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:

Ряды и интеграл Фурье

Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:

Ряды и интеграл Фурье

Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что Ряды и интеграл Фурье отрицательное число, разобрав все случаи.

a) Пусть Ряды и интеграл ФурьеТогда X”=0 и его общее решение запишется так:

Ряды и интеграл Фурье

Ряды и интеграл Фурье

откуда Ряды и интеграл Фурье и Ряды и интеграл Фурье,что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

б) Пусть Ряды и интеграл Фурье. Тогда решив уравнение

Ряды и интеграл Фурье

Ряды и интеграл Фурье

получим Ряды и интеграл Фурье, и, подчинив, найдем, что Ряды и интеграл Фурье

в) Ряды и интеграл Фурье Если Ряды и интеграл Фурье то

Ряды и интеграл Фурье

Уравнения имеют корни :

Ряды и интеграл Фурье

получим:

Ряды и интеграл Фурье

Ряды и интеграл Фурье

где Ряды и интеграл Фурье -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:

Ряды и интеграл Фурье

откуда Ряды и интеграл Фурье, т. е.

Ряды и интеграл Фурье (n=1,2,...)

Ряды и интеграл Фурье (n=1,2,...).

Учитывая это, можно записать:

Ряды и интеграл Фурье (n=1,2,...).

и, следовательно

Ряды и интеграл Фурье, (n=1,2,...),

но так как A и B разные для различных значений n то имеем

Ряды и интеграл Фурье, (n=1,2,...),

где Ряды и интеграл Фурье и Ряды и интеграл Фурье произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3).

Итак, подчиним функцию u(x,t) начальным условиям, т. е. подберем Ряды и интеграл Фурье и Ряды и интеграл Фурье так , чтобы выполнялись условия

Ряды и интеграл Фурье

Ряды и интеграл Фурье

Эти равенства являются соответственно разложениями функций Ряды и интеграл Фурье и Ряды и интеграл Фурье на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой

Ряды и интеграл Фурье

где

Ряды и интеграл Фурье (n=1,2,...)

 

Интеграл Фурье

 

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на Ряды и интеграл Фурье

Ряды и интеграл Фурье(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

Ряды и интеграл Фурье

, где Ряды и интеграл Фурье,

Ряды и интеграл Фурье.

Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье.

Учитывая, что Ряды и интеграл Фурье, а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем:

Ряды и интеграл Фурье (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так:

Ряды и интеграл Фурье ,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) :

Ряды и интеграл Фурье (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид:

Ряды и интеграл Фурье ,

где b(u) определяется равенством (4).

 

Комплексная форма