Xreferat.com » Рефераты по математике » Сходимость рядов

Сходимость рядов

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9

ВАРИАНТ 9.3.


Найти область сходимости указанных рядов


9.3.1.

а)


Сходимость рядов


По признаку Лейбница для знакопеременных рядов Сходимость рядов ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)

Сходимость рядов.


б)

Сходимость рядов


Отсюда следует, что при Сходимость рядов ряд сходится, т.е. при Сходимость рядов. При Сходимость рядов ряд расходится.

Рассмотрим случай Сходимость рядов

Сходимость рядов


Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов Сходимость рядов Ряд сходится условно, т.к. ряд Сходимость рядов

При Сходимость рядов аналогично получим ряд Сходимость рядов, ряд сходится условно.

Ответ: Сходимость рядов


9.3.2.

а)

Сходимость рядов. По признаку Даламбера ряд сходится, если Сходимость рядов.

Сходимость рядов


Ряд будет сходится при Сходимость рядов

Первый случай Сходимость рядов или


Сходимость рядов

Сходимость рядов

В промежутке Сходимость рядов ряд сходится.

Второй случай


Сходимость рядов


В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим Сходимость рядов. Рассмотрим концы интервала.

При x=1 получим ряд Сходимость рядов, т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+…

Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).

При Сходимость рядов получим ряд Сходимость рядов т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к. Сходимость рядов

Сходимость рядов


б)


Сходимость рядов


Ряд будет сходиться при Сходимость рядов.

1)


Сходимость рядов


в интервале Сходимость рядов ряд сходится.


2)


Сходимость рядов

в интервале 3<x<8 ряд сходится.

Общий интервал сходимости –2<x<8.

На концах интервала х=-2, имеем ряд:


Сходимость рядов


— расходящийся гармонический ряд.


Сходимость рядов


в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.

Ответ: (-2,8]


9.3.3.

а)


Сходимость рядов


Ряд сходится при условии Сходимость рядов


1) Сходимость рядов


Решим неравенство:


Сходимость рядов


корней нет, следовательно: Сходимость рядов — всегда.


Сходимость рядов

Сходимость рядов


Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала: Сходимость рядов Здесь ряд сходится.

Исследуем концы интервалов:

1) Сходимость рядов. Получаем ряд: Сходимость рядов. Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда Сходимость рядов.


2)


Сходимость рядов


б)


Сходимость рядов.


Ряд сходится при Сходимость рядов.

1) Сходимость рядов интервал сходимости Сходимость рядов.

2) Сходимость рядов интервал сходимости Сходимость рядов.

Исследуем границы интервала.

1)


Сходимость рядов


По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд Сходимость рядов — расходится.


2) Сходимость рядов.


Сравним с рядом Сходимость рядов по второму признаку сравнения


Сходимость рядов


расходится, то расходится и ряд Сходимость рядов.

Сходимость рядов


3.9.4.

а)


Сходимость рядов


Ряд сходится при Сходимость рядов

1) Сходимость рядов тогда


Сходимость рядов Сходимость рядов


корней нет, Сходимость рядов.

Решаем неравенство:


Сходимость рядов.


Решаем полученное неравенство:


Сходимость рядов


В промежутке (1,3) ряд сходится.

На концах интервала имеем:

1)


Сходимость рядов


Ряд расходится, т.к. Сходимость рядов.

2)


Сходимость рядов

б)


Сходимость рядов


Ряд сходится при условии Сходимость рядов или


Сходимость рядов


Интервал сходимости Сходимость рядов.

На концах интервала.

1)


Сходимость рядов


— ряд расходится, т.к. расходится ряд Сходимость рядов.

2)


Сходимость рядов

Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.

Сходимость рядов


9.3.5.

а)


Сходимость рядов


Ряд сходится при условии Сходимость рядов.

1)


Сходимость рядов


2)


Сходимость рядов


Исследуем концы интервала:

1) Сходимость рядов


Сходимость рядов


2)


Сходимость рядов


б)


Сходимость рядов


Ряд сходится при условии Сходимость рядов откуда Сходимость рядов

Сходимость рядов


9.3.6.

а)


Сходимость рядов

Ряд сходится при


Сходимость рядов

Сходимость рядов


и корней нет, следовательно, имеет условие


Сходимость рядов


Интервал сходимости Сходимость рядов.

Исследуем концы интервалов:

1)


Сходимость рядов

Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница

Сходимость рядов — выполняется


Сходимость рядов


Ряд сходится при


Сходимость рядов


Получим такой же ряд.

Сходимость рядов


б) Сходимость рядов


Проверяем признак Даламбера:


Сходимость рядов


Условие сходимости

Сходимость рядов

На концах интервала имеем:

1)


Сходимость рядов


Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.

Ряд сходится условно при Сходимость рядов.

Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.

Сходимость рядов.


9.3.7.

а)


Сходимость рядов


Проверяем концы интервалов

1)


Сходимость рядов


Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.

При Сходимость рядов получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).

Сходимость рядов

б)


Сходимость рядов


9.3.8.

а)


Сходимость рядов


Условие сходимости Сходимость рядов.

Найдем дискриминант знаменателя: D=64-72<0. Условие принимает вид


Сходимость рядов


Интервал сходимости Сходимость рядов.

На концах интервала

Сходимость рядов


Получаем один и тот же ряд


Сходимость рядов.


Члены этого ряда не меньше членов ряда Сходимость рядов, следовательно, ряд расходится.

Сходимость рядов

б)


Сходимость рядов


Условие сходимости


Сходимость рядов


На краях интервалов:

1) Сходимость рядов. Получается ряд:


Сходимость рядов

Ряд знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.


2)


Сходимость рядов


9.3.9.

а)


Сходимость рядов


1. Если Сходимость рядов, т.е. Сходимость рядов и необходимо решить неравенство: Сходимость рядов. Получается интервал Сходимость рядов.

2.


Сходимость рядов


Интервал с учетом Сходимость рядов.

На концах интервала:

1)


Сходимость рядов


Ряд сходится. Аналогично при Сходимость рядов.

Сходимость рядов.

б)


Сходимость рядов


Интервал сходимости определяется неравенством


Сходимость рядов


9.3.10.

а)


Сходимость рядов


Найдем дискриминант числителя


Сходимость рядов


б)


Сходимость рядов

1)


Сходимость рядов


2)


Сходимость рядов


1.


Сходимость рядов


2.


Сходимость рядов

Похожие рефераты: