Xreferat.com » Рефераты по математике » Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Контрольная работа № 1


Задача 1


Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.

Решение:

Событие А – взятая деталь оказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке, обозначим через В1, В2 и В3. Соответственно Р(В1) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии, Р(В2) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии, Р(В3) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии.

Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком РВ1(А) = 0,02, аналогично РВ2(А) = 0,03 и РВ3(А) = 0,04.

По формуле полной вероятности


Р(А) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


По формуле Бейеса


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


Ответ: РА(В3) = 0,1818


Задача 2


Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.

Решение:

Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки


Р = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии.


Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.

Вычислим


Р5(3) + Р5(4) + Р5(5).

Pn(k) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии,


где р = 0,3 и q = 0,7.

Р5(3) = 0,1323

Р5(4) = 0,0284

Р5(5) = 0,0024

Искомая вероятность равна 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631

Ответ: 0,1631


Задача 3


Вероятность того, что договор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1. Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно.

Решение:

а) Используем локальную теорему Лапласа, где k = 210, р = 0,1 и q = 0,9.


Pn(k) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии, где Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Р2000(210) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


б) Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k2 = 250, k1 = 190.


Pn(k1;k2) = F(x’’) - F(x’),

х’’ = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии.

х’ = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии.


F(x’’) = F(3,73) = 0,4999.

F(x’) = F(-0,75) = - 0,2764.

P2000(190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/

Ответ: а) Р2000(210) = 0,0224, б) Р2000(190;250) = 0,7763


Задача 4


Законное распределение независимых случайных величин Х и У имеют вид:


Х:

xi 0 1 2
pi 0,3 ? 0,2

Y:

yi 1 2
pi 0,4 ?

Найти вероятность P(X = 1), P(Y = 2).

Составить закон распределения случайной величины


Z = X*Y.


Проверить выполнение свойства математического ожидания:


M(Z) = M(X)*M(Y)


Решение:

Р(Х = 1) = 1 – (0,3 + 0,2) = 0,5

Р(Y = 2) = 1 – 0,4 = 0,6

Составим закон распределения случайной величины Z = X*Y



xj 0 1 2
yi

pj

pi

0,3 0,5 0,2
1 0,4

0

0,12

1

0,2

2

0,08

2 0,6

0

0,18

20,3

4

0,12

zi 0 1 2 4
pi 0,3 0,2 0,38 0,12

Spi = 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1

M(Z) = 0*0,3 + 1*0,2 + 2*0,38 + 4*0,12 = 1,44

M(X) = 0*0,3 + 1*0,5 + 2*0,2 = 0,9

M(Y) = 1*0,4 + 2*0,6 = 1,6

M(Z) = M(X)*M(Y) = 0,9*1,6 = 1,44.

Ответ:


Zi 0 1 2 4
Pi 0,3 0,2 0,38 0,12

Задача 5


Функции распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

0 при х < -1,

F(x) = (х + 1)2 при -1 Ј х Ј 0,

1 при х > 0.


Найти математическое ожидание этой случайной величины и вероятность того, что при каждом из трех независимых наблюдений этой случайной величины будет выполнено условие Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии.

Решение:

Найдем плотность распределения

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

0 при х < -1,

f(x) = F’(x) = 2(x + 1) при -1 Ј х Ј 0,

1 при х > 0.


М(х) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


- математическое ожидание.


Р(х Ј Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии) = Р( -1 Ј х < Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии ) = F(Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии) – F( -1) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


Ответ: М(х) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии и Р(х < Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии) = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


Контрольная работа № 4


Задача 1


При выборочном опросе ста телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту


Возраст (лет) Менее 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Более 70 Итого
Количество пользователей (чел.) 8 17 31 40 32 15 7 150

Найти:

а) Вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на два года (по абсолютной величине);

б) Границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) Объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о доле нет.

Решение:

Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию распределения. Величина интервала k = 10 и с = 45, середина пятого интервала. Вычислим новые варианты в рабочей таблице:


i [xi;xi+1] xi ui ni ui;ni u2i;ni ui +1 (ui + 1)ni
1 10 – 20 15 -3 8 -24 72 -2 32
2 20 – 30 25 -2 17 -34 68 -1 17
3 30 – 40 35 -1 31 -31 31 0 0
4 40 – 50 45 0 40 0 0 1 40
5 50 – 60 55 1 32 32 32 2 128
6 60 – 70 65 2 15 30 60 3 135
7 70 – 80 75 3 7 21 63 4 112

S 315 0 150 -6 326 7 464

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


a) Найдем среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


Искомая доверительная вероятность


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


б) Выборочная доля зрителей от 30 до 50 лет

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для доли


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


Из соотношения g = Ф(t) = 0,97; t = 2,17

Предельная ошибка выборки для доли D = 2,17*0,0376 = 0,08156

Искомый доверительный интервал

0,4733 – 0,08156 Ј р Ј 0,4733 + 0,08156

0,3918 Ј р Ј 0,5549

в) Учитывая g = Ф(t) = 0,3876; t = 2,5


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессиичеловек.


Если о доле p = w ничего не известно, полагаем (pq)max = 0,25

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии человек.

Ответ: а) Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии; б) 0,3918 Ј р Ј 0,5549 ; в) 190 человек


Задача 2


По данным задачи 1, используя критерий c2 – Пирсона, при уровне значимости, а = 0,5 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – количество телезрителей – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

Выдвигается гипотеза Н0: случайная величина Х – количество телезрителей – распределена нормально. с параметрами а = 44,6 и d2 = 217,17.

Для расчета рi используем функцию Лапласа


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Дальнейшие расчеты покажем в таблице


i [xi;xi+1] ni pi npi (ni – npi)

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

1 10 – 20 8 0,0582 8,7225 0,522 0,0598
2 20 – 30 17 0,1183 17,738 0,5439 0,0307
3 30 – 40 31 0,2071 31,065 0,0042 0,0001
4 40 – 50 40 0,2472 37,073 8,5703 0,2312
5 50 – 60 32 0,2034 30,51 2,2201 0,0728
6 60 – 70 15 0,1099 16,478 2,183 0,1325
7 70 – 80 7 0,0517 7,755 0,57 0,0735
S
150 0,9956 149,34
0,6006

Фактическое значение c2 = 0,6006 Соотносим критическое значение c20,05;4 = 9,49 k = m – r – 1 = 7 – 2 – 1 = 4.

Так как c2 < c20,05;4, гипотеза Н0 согласуется с опытными данными. Выполним построение:


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Ответ: Гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе N (44,6; 217,17) согласуется с опытными данными.


Задача 3


Распределение 50 однотипных малых предприятий по основным фондам Х (млн., руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции. У (тыс., руб.) представлено в таблице:


у

х

1,25 1,5 1,75 2,0 2,25 Итого
80 – 130

1 2 3 6
130 – 180

1 4 3 8
180 – 230
4 8 3 1 16
230 – 280 2 5 4

11
280 – 330 3 4 2

9
Итого: 5 3 16 9 7 50

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние xj и yi и построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнение прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости, а=0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующие уравнения регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс., руб.

Решение:

1) Составим корреляционную таблицу


х

у

xi

1,25 1,5 1,75 2 2,25 ni уi
80 – 130 105

1 2 3 6 2,0833
130 – 180 155

1 4 3 8 2,0625
180 – 230 205
4 8 3 1 16 1,7656
230 – 280 255 2 5 4

11 1,5456
280 – 330 305 3 4 2

9 1,4722

nj 5 13 16 9 7 50

xj 285 255 220,63 160,56 140,71


Построим эмпирические линии регрессии


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


2) Предположим, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость;

а) Вычислим среднее значение


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииНайдем уравнение


ух = byx(x – x) + y,


где byx = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии

ух = - 0,0036(х – 214) + 1,75

ух = - 0,0036х + 2,5105


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииРаспределение случайной величины. Эмпирические линии регрессииху - х = byx(у – у),

где bху = Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


ху = - 157,14(х – 1,75) + 214

ху = - 157,14х + 489

б) Коэффициент корреляции


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


связь обратная и тесная;

Статистика критерия


Распределение случайной величины. Эмпирические линии регрессии


При а = 0,05 и k = 48; t0,05;48 = 2,01, так как t > t0,05;48 коэффициент значительно отличается от 0.

в) Используя ху = - 157,14у + 489

х = - 157,14*2,5 + 489 = 96,14

Ответ: а) ух = - 0,0036х + 2,5105; ху = - 157,14х + 489.

б) k = - 0,7473.

в) х = 96,14 при у = 2,5

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: