Гамма функции

Бэта-функции 6

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:


= (1.1)


сходятся при .Полагая =1 – t получим:


= - =


т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество



по формуле интегрирования почестям имеем



Откуда


= (1.2)


7

При целом b = n последовательно применяя(1.2)

Получим


(1.3)


при целых = m,= n,имеем


но B(1,1) = 1,следовательно:


Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то



8

и в результате подстановки ,получаем


полагая в(1.1) ,откуда ,получим


(1.4)


разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим


=


2. Гамма-функция 9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода


(a) = (2.1)


сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем


(a) =


и после замены , через и t через 1+t ,получим



Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:



или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:



10

откуда


(2.2)


заменяя в (2,1) ,на и интегрируем по частям



получаем рекурентною формулу


(2.3)

так как



но при целом имеем


(2.4)


то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем


3. Производная гамма функции 11

Интеграл


сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области интеграл cходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем ,что интеграл :

12

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на.Но тогда на справедливо неравенство


и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл



в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл



13

сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

.


Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что



По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство



Изучим теперь поведение - функции и построим єскиз ее графика .

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Нужна помощь в написании работы?
Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Пишем статьи РИНЦ, ВАК, Scopus. Помогаем в публикации. Правки вносим бесплатно.

Похожие рефераты: