Дифференцированные уравнения
1.ВВЕДЕНИЕ
2.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.1.ЗАПИСЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В СТАНДАРТНОЙ И ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения в двух формах.
Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме того, принято, чтобы, сама выходная величина находилась в уравнении с коэффициентом единица. Такое уравнение имеет вид:
= (1)
При такой записи коэффициенты k,k1,...,kn называют коэффициентами передачи, а T1,...,Tn - постоянными времени данного звена.
Коэффициент передачи показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме, т.е. определяет собой наклон линейной статической характеристики звена.
Размерности коэффициентов передачи определяются как
размерность k = размерность y(t) : размерность g(t)
размерность k1 = размерность y(t) : размерность g(t) (?)
Постоянными времени T1,...,Tn имеют размерность времени.
Вторая форма записи. Считая условно оператор дифференцирования p= алгебраической величиной, произведем замену в уравнении (1):
=
= (2)
2.2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЗВЕНА
Решим уравнение (2) относительно выходной величины y(t):
y(t)==
==
=W1(s)+W2(s)+...+Wn(s)
Здесь W1(s),W2(s),...,Wn(s) - передаточные функции.
При записи уравнений с изображениями выходной и входной величин по Лапласу передаточные функции сливаются в одну.
2.3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗВЕНА
Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.
Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе из звена, возникающий при подаче на его вход единичного ступенчатого воздействия - скачкообразного воздействия со скачком, равной единице.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию на единичную импульсную функцию. Она может быть получена дифференцированием по времени переходной функции:
w(t)=
2.4.ЧАСТОТНАЯ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Важнейшей характкристикой динамического звена является его частотная передаточная функция. Ее можно получить с помощью передаточной фкнкции, заменив линейный оператор s на комплексный jw.
Так как передаточная функция есть отношение изображения по Лапласу выходной величины к входной, то при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье, мы получим, что частотная передаточная функция является изображением Фурье функции веса, то есть имеет место интегральное преобразование
W(j)=.
Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде:
W(jw)=U(w)+jV(w)
где U(w) и V(w) - вещественная и мнимая части.
W(jw)=A(w),
где A(w) - модуль частотной передаточной функции, равный отношению амплитуде выходнгой величины к амплитуде входной,j(w) - аргументчастотной передаточной функции, равный сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной.
Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) показывает, как пропускает звено сигнал различой частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. То есть АЧХ - это модуль частотной передаточной функции:
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
АЧХ строят
для всео диапазона
частот -Ґ
Другой
важной характеристикой
является фазовая
частотная
характеристика
(ФЧХ), которая
находится как
аргумент частотной
передаточной
функции:
j(w)=argW(jw) 4.
ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЗВЕНЬЕВ 4.1.
ПОЗИЦИОННЫЕ
ЗВЕНЬЯ
Позиционные
звенья - это
такие звенья
, в которых выходная
и входная величины
в установившемся
режиме связаны
линейной зависимостью
y(t)=kg(t).Соответственно,
переходная
функция будет
иметь вид W(s)=k,
где N(s), L(s) - многочлены. 4.1.1.ИДЕАЛЬНОЕ
УСИЛИТЕЛЬНОЕ
( БЕЗЫНЕРЦИОННОЕ
) ЗВЕНО
1. Данное
звено описывается
следующим
уравнением:
aoy(t)=bog(t)
(1)
Коэффициенты
имеют следующие
значения:
ao=2
bo=4
Запишем
это уравнение
в стандартной
форме. Для этого
разделим (1) на
ao:
y(t)=g(t)
y(t)=kg(t) (2),
где
k=-коэффициент
передачи.
Запишем
исходное уравнение
в операторной
форме, используя
подстановку
p=
.Получим:
y(t)=kg(t) (3)
2. Получим
передаточную
функцию для
идеального
звена. Воспользуемся
преобразованиями
Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t)=G(s)
По определению
передаточная
функция находится
как отношение
выходного
сигнала к входному.
Тогда уравнение
(2) будет иметь
вид:
Y(s)=kG(s)
W(s)=k (4)
3. Найдем
выражения для
переходной
функции и функции
веса. По определению
аналитическим
выражением
переходной
функции является
решение уравнения
(2) при нулевых
начальных
условиях, т.е.
g(t)=1. Тогда
h(t)=k1(t) (5)
Функцию
веса можно
получить
дифференцированием
переходной
функции:
w(t)==kd(t)
(6)
4. Построим
графики переходной
функции и функции
веса. Подставляя
исходные данные,
вычислим коэффициент
передачи и
временные
характеристики:
k=2
h(t)=2Ч1(t)
w(t)=2Чd(t)
Переходная
функция представляет
собой ступенчатую
функцию с шагом
k=2, а функция веса
- импульсную
функцию, площадь
которой равна
k=2.
5. Получим
частотную
передаточную
функцию, заменив
в передаточной
функции (4) s на
jw:
W(s)=k
W(jw)=k
(7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=k
V(w)=0
6. Получим
аналитические
выражения для
частотных
характеристик.
По определению
амплитудная
частотная
характеристика
(АЧХ) - это модуль
частотной
передаточной
функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=k
(8)
Фазовая
частотная
характеристика
(ФЧХ) - это аргумент
частотной
передаточной
функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=0
(9)
Для
построения
логарифмических
частотных
характеристик
вычислим
L(w)=20lg
A(w)
L(w)=20lgk
7. Построим
графики частотных
характеристик.
Для этого сначала
получим их
численные
значения.
k=2
A(w)=2
j(w)=0
L(w)=20lg2
U(w)=2
V(w)=0
Вывод:
Примером
рассмотренного
звена может
являться механический
редуктор, делитель
напряжения,
индукционные
датчики и т.д.
Но беэынерционное
звено является
некоторой
идеализацией
реальных звеньев.
В действительности
ни одно звено
не может равномерно
пропускать
все частоты
от нуля до
бесконечности.
Обычно к такому
виду сводится
одно из реальных
звеньев , рассмотренных
ниже , если можно
пренебречь
влиянием динамических
процессов.
4.1.2. УСИЛИТЕЛЬНОЕ
ЗВЕНО С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1. Данное
звено описывается
следующим
уравнением:
aoy(t)=bog(t-t)
(1)
Коэффициенты
имеют следующие
значения:
ao=2
bo=4
t=0,1с
Запишем
это уравнение
в стандартной
форме. Для этого
разделим (1) на
ao:
y(t)=
g(t-t)
y(t)=kg(t-t)
(2),
где
k=-коэффициент
передачи.
Запишем
исходное уравнение
в операторной
форме, используя
подстановку
p=
.Получим:
y(t)=kg(t-t)
(3)
2. Получим
передаточную
функцию для
идеального
звена. Воспользуемся
преобразованиями
Лапласа:
y(t)=Y(s)
g(t-t)=G(s)e-ts
По определению
передаточная
функция находится
как отношение
выходного
сигнала к входному.
Тогда уравнение
(2) будет иметь
вид:
Y(s)=kG(s)
e-ts
W(s)= ke-ts
(4)
3. Найдем
выражения для
переходной
функции и функции
веса. ПО определению
аналитическим
выражением
переходной
функции является
решение уравнения
(2) при нулевых
начальных
условиях, т.е.
g(t)=1.Тогда
h(t)=y(t)=k g(t-t)=k1(t)
(5)
Функцию
веса можно
получить
дифференцированием
переходной
функции:
w(t)==kd(t-t)
(6)
4. Построим
графики переходной
функции и функции
веса. Подставляя
исходные данные,
вычислим коэффициент
передачи и
временные
характеристики:
k=2
h(t)=2Ч1(t-t)
w(t)=2Чd(t-t)
Переходная
функция представляет
собой ступенчатую
функцию с шагом
k=2 и запаздыванием
на t=0,1с,
а функция веса
- импульсную
функцию с таким
же запаздыванием,
площадь которой
равна k=2.
5. Получим
частотную
передаточную
функцию, заменив
в передаточной
функции (4) s на
jw:
W(s)=k e-ts
W(jw)=k
e-jwt
=k(costw-jsintw)
(7)
W(jw)=U(w)+jV(w)
U(w)=k
costw
V(w)=-ksintw
6. Получим
аналитические
выражения для
частотных
характеристик.
По определению
амплитудная
частотная
характеристика
(АЧХ) - это модуль
частотной
передаточной
функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)=k
(8)
Фазовая
частотная
характеристика
(ФЧХ) - это аргумент
частотной
передаточной
функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=
tw
(9)
Для
построения
логарифмических
частотных
характеристик
вычислим
L(w)=20lg
A(w)
L(w)=20lgk
7. Построим
графики частотных
характеристик.
Для этого сначала
получим их
численные
значения.
k=2
A(w)=2
j(w)=0,1w
L(w)=20lg2
U(w)=2cos0,1w
V(w)=-2sin0,1w
Вывод:
4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ
АПЕРИОДИЧЕСКОЕ
ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
1. Данное
звено описывается
следующим
уравнением:
a1
+
aoy(t)
=bog(t)
(1)
Коэффициенты
имеют следующие
значения:
a1=1,24
ao=2
bo=4
Запишем
это уравнение
в стандартной
форме. Для этого
разделим (1) на
ao:
+y(t)=g(t)
T1
+y(t)=kg(t)
(2),
где
k=-коэффициент
передачи,
T1=-постоянная
времени.
Запишем
исходное уравнение
в операторной
форме, используя
подстановку
p=
.Получим:
(T1
p+1)y(t)=kg(t)
(3)
2. Получим
передаточную
функцию для
апериодического
звена. Воспользуемся
преобразованиями
Лапласа:
y(t)=Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению
передаточная
функция находится
как отношение
выходного
сигнала к входному.
Тогда уравнение
(2) будет иметь
вид:
T1
sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=
(4)
3. Найдем
выражения для
переходной
функции и функции
веса. По определению
аналитическим
выражением
переходной
функции является
решение уравнения
(2) при нулевых
начальных
условиях, т.е.
g(t)=1 или по преобразованиями
Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)==
Переходя
к оригиналу,
получим
h(t)=kЧ1(t)
(5)
Функцию
веса можно
получить
дифференцированием
переходной
функции
w(t)=
или из
преобразований
Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1
W(s)==
Переходя
к оригиналу,
получим
w(t)=
e
Ч1(t)
(6)
4. Построим
графики переходной
функции и функции
веса. Подставляя
исходные данные,
вычислим коэффициент
передачи, постоянные
времени и временные
характеристики:
k=2
T1
=0.62
h(t)=2
Ч1(t)
w(t)=3.2eЧ1(t)
Переходная
функция представляет
собой экспоненту.
Множитель 1(t)
указывает ,что
экспонента
рассматривается
только для
положительного
времени t>0. Функция
веса - также
экспонента,
но со скачком
в точке t=0 на
величину.
5. Получим
частотную
передаточную
функцию, заменив
в передаточной
функции (4) s на
jw:
W(s)=
W(jw)=
(7)
W(jw)=U(w)+jV(w)==-j
U(w)=
V(w)=
6. Получим
аналитические
выражения для
частотных
характеристик.
По определению
амплитудная
частотная
характеристика
(АЧХ) - это модуль
частотной
передаточной
функции,т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)==
(8)
Фазовая
частотная
характеристика
(ФЧХ) - это аргумент
частотной
передаточной
функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgk
- arctg
j(w)=-arctgT1
(9)
Для
построения
логарифмических
частотных
характеристик
вычислим
L(w)=20lg
A(w)
L(w)=20lg
7. Построим
графики частотных
характеристик.
Для этого сначала
получим их
численные
значения.
k=2
T1
=0.62
A(w)=
j(w)=arctg0.62w
L(w)=20lg
U(w)=
V(w)=
4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ
АПЕРИОДИЧЕСКОЕ
ЗВЕНО
1-го ПОРЯДКА
1. Данное
звено описывается
следующим
уравнением:
a1
-
aoy(t)
=bog(t)
(1)
Коэффициенты
имеют следующие
значения:
a1=1,24
ao=2
bo=4
Запишем
это уравнение
в стандартной
форме. Для этого
разделим (1) на
ao:
-y(t)=g(t)
T
-y(t)=kg(t)
(2),
где
k=-коэффициент
передачи,
T=-постоянная
времени.
Запишем
исходное уравнение
в операторной
форме, используя
подстановку
p=
.Получим:
(T
p-1)y(t)=kg(t)
(3)
2. Получим
передаточную
функцию для
апериодического
звена. Воспользуемся
преобразованиями
Лапласа:
y(t) = Y(s)
=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению
передаточная
функция находится
как отношение
выходного
сигнала к входному.
Тогда уравнение
(2) будет иметь
вид:
T
sY(s)-Y(s)=kG(s)
W(s)=
(4)
3. Найдем
выражения для
переходной
функции и функции
веса. По определению
аналитическим
выражением
переходной
функции является
решение уравнения
(2) при нулевых
начальных
условиях, т.е.
g(t)=1 или по преобразованиями
Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)==
Переходя
к оригиналу,
получим
h(t)=kЧ1(t)
(5)
Функцию
веса можно
получить
дифференцированием
переходной
функции
w(t)=
или из
преобразований
Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)Ч1
W(s)==
Переходя
к оригиналу,
получим
w(t)=
e
Ч1(t)
(6)
4. Построим
графики переходной
функции и функции
веса. Подставляя
исходные данные,
вычислим коэффициент
передачи, постоянные
времени и временные
характеристики:
k=2
T
=0.62
h(t)=2
Ч1(t)
w(t)=3.2eЧ1(t)
Переходная
функция представляет
собой экспоненту.
Множитель 1(t)
указывает ,что
экспонента
рассматривается
только для
положительного
времени t>0. Функция
веса - также
экспонента,
но со скачком
в точке t=0 на
величину.
5. Получим
частотную
передаточную
функцию, заменив
в передаточной
функции (4) s на
jw:
W(s)=
W(jw)=
(7)
W(jw)==j=U(w)+jV(w)
U(w)=
V(w)=
6. Получим
аналитические
выражения для
частотных
характеристик.
По определению
амплитудная
частотная
характеристика
(АЧХ) - это модуль
частотной
передаточной
функции, т.е.
A(w)=ЅW(jw)Ѕ
A(w)==
(8)
Фазовая
частотная
характеристика
(ФЧХ) - это аргумент
частотной
передаточной
функции, т.е.
j(w)=argW(jw)
j(w)=arctgk
- arctg
j(w)=-arctg(-Tw)
(9)
Для
построения
логарифмических
частотных
характеристик
вычислим
L(w)=20lg
A(w)
L(w)=20lg
7. Построим
графики частотных
характеристик.
Для этого сначала
получим их
численные
значения.
k=2
T
=0.62
A(w)=
j(w)=-arctg(-0.62w)
L(w)=20lg
U(w)=
V(w)=
4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ
ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
1. Данное
звено описывается
следующим
уравнением:
a2+a1
+
aoy(t)
=bog(t)
(1)
Коэффициенты
имеют следующие
значения:
a2=0,588
a1=50,4
ao=120
bo=312
Запишем
это уравнение
в стандартной
форме. Для этого
разделим (1) на
ao:
++y(t)=g(t)
+T1
+y(t)=kg(t)
(2),
где
k=-коэффициент
передачи,
T1=,T22=-постоянные
времени.
Если
корни характеристического
уравнения для
дифференциального
уравнения 2-го
порядка вещественны
(это выполняется
при T1>2T2),
то оно является
апериодическим
2-го порядка.
Проверим это
для нашего
уравнения:
T1=0,42
2T2=0,14
0,42>014, следовательно,
данное уравнение
- апериодическое.
Запишем
исходное уравнение
в операторной
форме, используя
подстановку
p=
.Получим:
(