Xreferat.com » Рефераты по математике » Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

Міністерство освіти і науки України

Закарпатський державний університет


ІНСТИТУТ ІНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН


Реєстраційний №____

Дата ______________


КУРСОВА РОБОТА

з вищої математики

Тема: Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків.


Рекомендовано до захисту

“__” ____________ 2006 р.

Робота захищена

“__” ____________ 2006 р.

з оцінкою

__________

Підписи членів комісії:

студента II курсу

денного відділення

П. І. Б.

Науковий керівник

проф. П. І. Б.


Ужгород

Зміст


Вступ ______________________________________________________3

Теоретичний виклад матеріалу _________________________________4

Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь _____________________4

Ранг матриці ______________________________________________5

Фундаментальна система розв’язків __________________________7

Приклади розв’язання завдань _______________________________9

Висновок __________________________________________________14

Використана література ______________________________________15

Вступ


Спочатку нам потрібно розглянути те, як виглядають системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь, ознайомитися з тими компонентами, які входять у ці системи.

Отже, система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими в загальному випадку має вигляд:

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

(2.1)


Тут n і m — довільні натуральні числа, ніяк не пов'язані між собою; x1, x2,…,xn — невідомі величини; Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків (коефіцієнти системи), Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків (вільні члени) — довільні відомі числа.

В цій роботі нас цікавитиме система, у якої всі вільні члени дорівнюють нулю. Тобто однорідна система до системи (2.1), яка має такий вигляд:

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків


(2.2)

Вона буде називається однорідною системою, відповідною до системи (2.1).

Система ж (2.1) називається неоднорідною, якщо Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків (принаймні одне з чисел Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків є відмінним від нуля).

Розв'язком системи (2.1) (системи (2.2)) називається така впорядкована система n чисел Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків яка при підставленні в систему (2.1) (систему (2.2)) на місце невідомих Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків відповідно, тобто замість Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, підставляємо Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, замість Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, підставляємо Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків і т. д., перетворює всі рівняння системи (2.1) (системи (2.2)) в правильні рівності. Розв'язок Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків записують у вигляді n- вимірного вектора Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків.

Теоретичний виклад матеріалу

Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь.

Будь-яка система рівнянь називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв'язок, і — несумісною, якщо вона не має жодного розв'язку. При цьому сумісна система називається визначеною, якщо вона має тільки один розв'язок, і — невизначеною, якщо вона має більше, ніж один розв'язок.

Дві системи рівнянь називаються еквівалентними, якщо обидві вони несумісні, або якщо обидві вони сумісні та мають одні й ті ж розв'язки. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь є еквівалентними, якщо вони одержуються одна з однієї шляхом застосування скінченної послідовності таких перетворень.

• переставляння місцями двох рівнянь системи (елементарне перетворення першого роду),

• додавання до якогось рівняння системи іншого рівняння цієї системи, помноженого на деяке число (елементарне перетворення другого роду).

Кожній системі лінійних алгебраїчних рівнянь (2 1) чи (2.2) відповідає деяка матриця

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків (2.3)

її називають матрицею цієї системи. Для системи (2.1) можна виписати матрицю

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків (2.4)

Її називають розширеною матрицею системи (2.1).

З іншого боку, кожну Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків - матрицю можна розуміти як матрицю деякої системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими, а Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків - матрицю як розширену матрицю деякої неоднорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими. Останнє зауваження означає, що система m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими з точністю до позначень невідомих, задається своєю розширеною Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків - матрицею.

Неважко помітити, що, проводячи елементарні перетворення першого і другого роду в системі лінійних алгебраїчних рівнянь, ми маємо справу лише з коефіцієнтами при невідомих. Через це значно простіше виконувати елементарні перетворення, оперуючи не з самою системою, а лише з її розширеною матрицею. Таким чином, елементарні перетворення першого і другого роду над системами лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими здійснюються, як перетворення відповідних їм матриць. При цьому переставлянню місцями двох рівнянь системи відповідає переставляння місцями двох рядків матриці системи (елементарне перетворення першого роду), а додаванню до якогось рівняння системи іншого рівняння цієї системи, помноженого на деяке число, відповідає додавання до якогось рядка матриці системи іншого її рядка, помноженого на деяке число (елементарне перетворення другого роду).

Ранг матриці.

Нехай Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків – система таких n-вимірних векторів, що:

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків,

тобто Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків — система векторів-рядків матриці А. Цю систему можна впорядковувати різними способами.

Нехай Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків — певним чином впорядкована система векторів-рядків матриці А. Вилучаючи з цієї системи ті вектори-рядки матриці А, які лінійно виражаються через попередні, одержуємо лінійно незалежну підсистему Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків векторів-рядків матриці А.

Зрозуміло, що впорядковуючи різними способами систему векторів-рядків матриці А, ми будемо одержувати, загалом, різні лінійно незалежні підсистеми лінійно незалежних векторів-рядків матриці А. Спільним для всіх таких підсистем є кількість векторів-рядків матриці А, що входять до них. Власне, це число називається рангом системи векторів-рядків матриці А.

Означення. Рангом матриці А називається ранг системи її векторів-рядків.

Нехай А — довільна прямокутна Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків матриця, k — таке натуральне число, що Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків Зафіксуємо в цій матриці k рядків і k стовпців. Не змінюючи взаємного розташування елементів матриці А, розташованих на перетині зафіксованих рядків і стовпців, складемо з них матрицю k-го порядку. Детермінант цієї матриці називається мінором k-го порядку матриці А.

Кажуть, що мінор r+1-го порядку матриці А обводить мінор 1-го порядку, якщо він містить його в собі повністю.

Теорема. Найвищий порядок r відмінних від нуля мінорів матриці А дорівнює рангу цієї матриці.

Наслідок 1. Ранг системи векторів-рядків матриці А дорівнює рангові системи векторів-стовпців цієї матриці.

Наслідок 2. Детермінант квадратної матриці дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли якийсь її рядок є лінійною комбінацією інших її рядків.

Для знаходження рангу матриці А розмірності Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків використовують такий алгоритм:

1) Якщо всі елементи матриці А дорівнюють нулю, тобто

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язківСистема лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, то її ранг R(A) дорівнює нулю.

2) Якщо хоча би один елемент матриці А відмінний від нуля, то Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків При цьому, якщо всі мінори другого порядку

матриці дорівнюють нулю, то Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків.

3) Якщо хоча би один мінор другого порядку матриці А відмінний від нуля, то Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків При цьому, якщо всі мінори третього порядку

матриці А, які обводять відмінний від нуля мінор другого порядку матриці A, дорівнюють нулю, то Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків.

4) Якщо хоча би один мінор третього порядку матриці А відмінний від нуля, то Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків При цьому, якщо всі мінори четвертого порядку матриці А, які обводять відмінний від нуля мінор третього порядку матриці А, дорівнюють нулю, то Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків ... і т.д.

Означення. Нехай r — ранг матриці Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків. Будь-який відмінний від нуля мінор 1-го порядку матриці Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків називають її базовим мінором.

Фундаментальна система розв’язків.

З теореми Кронекера-Капеллі випливає, що будь-яка система (2.2) лінійних однорідних рівнянь є сумісною. Вона має очевидний (тривіальний) розв'язок: Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків (його записують у вигляді (0.....0)). Якщо ранг матриці системи (2.2) дорівнює кількості невідомих, тобто Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, то така система має тільки нульовий розв'язок. Якщо ж Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, де Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, то в системі є n-r вільних невідомих, які можна дібрати так, щоб система (2.2) мала ще й ненульові розв'язки. Зазначимо, що система n лінійних однорідних рівнянь з n невідомими тоді і тільки тоді має розв'язки, відмінних від нульового, коли детермінант цієї системи дорівнює нулю.

Нехай вектори Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків та є розв'язками сСистема лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків системи (2.2). Тоді при будь-якому дійсному k вектор Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків також є розв'язком системи (2.2). Крім того, при будь-яких дійсних k та l вектор Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків також є розв'язком системи (2.2). Іншими словами: будь-яка лінійна комбінація розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь є розв'язком цієї ж системи Сукупність усіх можливих розв'язків системи (2.2) називають простором розв'язків цієї системи.

Систему (2.2) розв'язують за тим же алгоритмом, що й систему (2.1). При цьому, очевидно Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків і ми фіксуємо деякий базовий мінор матриці А системи (2.2). Потім виконуємо такі дії:

Відкидаємо всі ті рівняння системи (2.2), коефіцієнти при невідомих у яких не складають рядок вибраного базового мінора матриці А, тобто залишаємо тільки Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків рівнянь системи (2.2).

Всі невідомі в залишених нами рівняннях, коефіцієнти при яких не входять в базовий мінор, переносимо в праву частину рівняння (ці невідомі називають вільними).

Надаючи вільним невідомим довільних значень, знаходимо значення інших r невідомих (ці невідомі називаються головними).

Одержавши всі можливі розв'язки системи (2.2), ми можемо вибрати з них лінійно незалежні розв'язки. Для цього потрібно вільним невідомим (а їх є n-r, де Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків), наприклад, Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків надавати такі сукупності значень Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків (i=1,...), щоб ці n-r-вимірні вектори виявилися лінійно незалежними. Таких векторів можна вибрати n-r. Для кожного з цих лінійно незалежних n-r-вимірних векторів, компонентами яких є значення вільних невідомих, знаходимо відповідні значення головних невідомих Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, де (i=1,...,n-r). Тоді n-вимірні вектори Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків (i=1,...,n-r) є лінійно незалежними розв'язками системи (2.2). Таку систему розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних рівнянь називають лінійно незалежною.

Зрозуміло, що лінійно незалежна система розв'язків системи (2.2) знаходиться неоднозначно. Це пов'язано з тим, що базовий мінор матриці системи (2.2) знаходиться неоднозначно, а, потім, довільним чином добираються лінійно незалежні рядки Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків значень вільних невідомих. Будь-яка лінійно незалежна система розв'язків системи (2.2) лінійних однорідних рівнянь називається її фундаментальною системою .

Якщо вже вибрана деяка фундаментальна система розв'язків системи (2.2), наприклад Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, то будь-який розв'язок Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків цієї системи є лінійною комбінацією розв'язків фундаментальної системи, тобто Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків, і навпаки, будь-яка лінійна комбінація розв’язків фундаментальної системи є розв'язком системи (2.2). Якщо коефіцієнти Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків цієї лінійної комбінації вважати довільними, то вона (тобто, ця лінійна комбінація) називається загальним розв'язком системи (2.2).

Серед фундаментальних систем розв'язків системи (2.2) виділяють нормальну фундаментальну систему, яка відповідає таким лінійно незалежним n-r-вимірним векторам значень вільних невідомих (1,0,...,0), (0,1,…,0),...,(0,0,...,1) (тут кожний з n-r-векторів є n-r-вимірним).

Нехай (2.1) — довільна неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь, (2.2) — відповідна їй однорідна система. Якщо вектор Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків —довільний розв'язок системи (2.1), а Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків — довільний розв'язок системи (2.2), то Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язківє знову ж таки розв'язком неоднорідної системи лінійних рівнянь (2.1). Будь-який розв'язок лінійної неоднорідної системи (2.1) дорівнює сумі деякого розв’язку цієї системи і загального розв'язку відповідної їй однорідної системи (2.2). Такий розв'язок системи (2.1) називають її загальним розв’язком.

Зауважимо також, що різниця двох розв'язків системи (2.1) є розв’язком системи (2.2).

Приклади розв’язання завдань.

Завдання 1. Знайти фундаментальну систему розв'язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь:

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

Розв'язання. Кожна система лінійних однорідних рівнянь є сумісною. Знаходимо ранг матриці А цієї системи.

А = Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

Матриця А — ненульова, отже, Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

Обчислюємо мінори третього порядку матриці А, одержані обведенням відмінного від нуля мінора Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків другого порядку. Звернемо увагу на те, що третій і четвертий стовпці матриці А пропорційні відповідно першому та другому її стовпцям. Тому мінори, утворені обведенням за допомогою як третього, так і четвертого стовпців, дорівнюють нулю. Залишається обчислити ще два мінори, утворені обведенням за допомогою п'ятого стовпця.

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

Таким чином, ранг матриці А дорівнює 2. Зважаючи на те, що її базовий мінор Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків розташовано в лівому верхньому куті матриці А, залишаємо в системі тільки перші два рівняння, а в їх лівих частинах — тільки перші дві невідомі. Інші три невідомі переносимо в праві частини, тобто вільними невідомими є Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків. Маємо:

Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків

Складемо таблицю для невідомих x1, x2, x3, x4, x5, відокремивши в ній головні (x1 та x2) і вільні (х3, х4, та х5) невідомі. Надаємо вільним невідомим (х3, х4, х5) такі, наприклад, значення: (1, 0, 0) = Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків1 , (0,1, 0) = Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків2 , (0, 0,1) = Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків3 (вибір значень для вільних невідомих зроблено так, щоб вектори Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків1, Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків2 та Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь. Фундаментальна сукупність розв'язків3 виявилися лінійно незалежними). Більше лінійно незалежних тривимірних векторів вибрати не можна. Для кожного набору значень вільних невідомих знаходимо відповідні значення головних невідомих. Одержана таблиця має такий вигляд:


x1 х2 х3 х4 х5
х3+х5 х4+х5 х3 х4 х5
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
1 0 0 0 1

Другий рядок таблиці (х3+x5, х4+х5, x3, х4, х5) є загальним розв'язком розглядуваної системи, якщо х3, x4 та х5 є будь-які числа; третій — α1 = (1, 0, 1, 0, 0), четвертий — α2 = (0, 1, 0, 1, 0) та п'ятий — α3 = (1, 1, 0, 0, 1) є частинними розв'язками розглядуваної системи.

Останні рядки, тобто вектори α1, α2 та α3 є лінійно незалежними, бо і лінійно незалежними є їх частини, відповідно, Система лінійних
					</div>
				<!--noindex--><div class=