Xreferat.com » Рефераты по математике » Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Исходные данные к курсовому проекту


Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:

посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;

на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, где с=const, а β – секундный расход массы m, Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

аэродинамические силы отсутствуют.

Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, где h – текущая высота;


или в нормальной форме:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.


Здесь введены обозначения:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.


Граничные условия имеют вид:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива,


причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.


Исходные данные для расчетов

Начальная масса КА

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, кг.

Начальная высота

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, км.

Начальная

скорость

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, км/с

Отношение силы тяги

к начальной массе Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, м/с2

500 190 2,65 42,5

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива=190000 м.

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива=2650 м/с



Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2, величина с=3000 м/с.


Задание к курсовому проекту


Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.

Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x0, x1, x2, а в момент t=T компоненты x1, x2, ψ0.

Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.

Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.


Доказать, что Кu не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.

Показать, что Кu есть монотонная функция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

б) Ku<0 для всех Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

в) Ku>0 для Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, Ku<0 для Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

г) Ku<0 для Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, Ku>0 для Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.

Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.

Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива.

Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива и управление u*=0, и когда Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, u*=umax.

Приравнивая х1(Т) и х2(Т) нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).


Выполнение задания курсового проекта


Нам известно, что


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, где с – сила тяги двигателя,


m – масса космического аппарата;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива – ускорение аппарата.

То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.

β – секундный расход массы m: Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топливаможно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе Pmax/m(0):


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива кг/с.


Наш критерий оптимизации Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива. Введем принятые в исходных данных обозначения:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива; Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.

Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;


Тогда критерий оптимизации:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива. (Здесь Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.)


Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.


Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.


Выберем управление:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;


Подставляем уравнения состояния, получим:

так как Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топливаи Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, отсюда


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.


Критерий оптимизации:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.


Введем переменные х0 и хn+1 (то есть х4).


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, где t – текущее время.

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.


Тогда основные уравнения состояния:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топливаПостроение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Составим гамильтониан Н:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива.


Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.

То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1. Это и будет оптимальное управление.

Для функций ψi тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива:

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива – так как функция не зависит от х0,

следовательно производная равна нулю;

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива – аналогично, так как функция не зависит от х1.

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива


Итак, нужно найти максимум гамильтониана:

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива


Функция переключения:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива


Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива


Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при Ku<0), либо включен на максимальную мощность (при Ku>0).

Посмотрим, как меняется функция переключения Кu во времени:


Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива;


Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения:

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, следовательно, ψ1 = const, обозначим ψ1=с1.

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, следовательно, Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива, где c2 = const.

Итак,

Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива


Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная Построение
					</div>
				<!--noindex--><div class=