Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива
Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения:
,
следовательно,
ψ1 =
const, обозначим
ψ1=с1.
,
следовательно,
,
где c2 =
const.
Итак,
Масса КА
всегда положительна,
а с=3000 = const –
величина постоянная,
поэтому производная
имеет всегда
постоянный
(один и тот же)
знак. То есть
величина Ku
либо всё время
монотонно
возрастает,
либо всё время
монотонно
убывает. А это
означает, что
она может пройти
через ноль
только один
раз.
Рассмотрим четыре возможных случая:
а) Ku>0
для всех
;
б) Ku<0
для всех
;
в) Ku>0
для
,
Ku<0
для
;
г) Ku<0
для
,
Ku>0
для
.
В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.
Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.
Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.
Итак, оптимальному управлению соответствует
На первом участке полета, на котором u1=0:
;
;
;
;
;
.
Рассмотрим второй участок полета u1=7,083:
Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):
;
;
.
На отрезке полета со включенным двигателем:
;
так как
,
запишем:
.
Теперь, зная х3, можно выразить х2:
.
Теперь, зная х2 выразим х1:
;
На отрезке пути h(t):
В момент
посадки t=T
высота и скорость
должны быть
равны нулю, то
есть
и
.
На основании
этого утверждения
приравняем
х1(T) и х2(Т)
нулю и получим
таким образом
два уравнения
относительно
t* и T.
Таким образом,
краевая задача
у нас свелась
к системе, состоящей
из двух нелинейных
уравнений
относительно
двух неизвестных
t* и Т:
Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:
;
Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки):
Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления1:
Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T):
кг.
Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели:
м.
Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.
1 Все дальнейшие вычисления также производились в программе Mathcad