Xreferat.com » Рефераты по математике » Поиск нулей функции. Итерационные методы

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Поиск нулей функции. Итерационные методы

Реферат по курсу “Численные методы”


Тема: “ Поиск нулей функции. Итерационные методы”

Содержание


Введение

1. Поиск нулей функции

2. Метод простой итерации

3. Итерационный процесс Ньютона

Литература

Ведение


Поиск нулей функции является важнейшей процедурой при исследовании и построении различных функций зависимостей, исследовании непрерывных процессов. Фактически поиск нулей функций сводится в постепенному приближению к области, в которой функция приобретает нулевое значение и исследованию ее.

Если уравнение представлено в форме Поиск нулей функции. Итерационные методы, то нахождение корня такого уравнения формулируется как задача поиска такого значения (или таких значений) Поиск нулей функции. Итерационные методы, при котором Поиск нулей функции. Итерационные методы.

1. Поиск нулей функций


Характерным признаком наличия корня у функции в некотором интервале служит различие знаков у значений функции слева и справа от точки Поиск нулей функции. Итерационные методы. Первой проблемой, непременно возникающей при поиске нулей функции, является обнаружение и минимизация размеров области нахождения нужного корня.

Многие уравнения благодаря пониманию физики описываемых ими явлений, как правило, дают представления об областях расположения нулей и обычно не требуют проведения аналитических исследований. В общем же случае, когда требуется найти все корни, область определения функции должна быть любыми известными эвристическими или аналитическими приемами расчленена на подобласти, включающие по одному корню. Это означает, что для каждой подобласти указаны границы возможного изменения каждой независимой переменной заданной системы нелинейных алгебраических уравнений. Для сжатия подобласти в точку, соответствующую корню, теперь могут быть предложены численные процедуры, из которых рассмотрим наиболее простые и популярные.


2. Метод простой итерации


Метод простой итерации (последовательного приближения) начинается с неявного разрешения заданной системы алгебраических уравнений Поиск нулей функции. Итерационные методы относительно вектора переменной Поиск нулей функции. Итерационные методы, например, так:


Поиск нулей функции. Итерационные методы,


где Поиск нулей функции. Итерационные методы, матрица масштабирующих коэффициентов, в общем случае недиагональная.

Итерационный процесс начинается с подстановки в правую часть произвольного значения Поиск нулей функции. Итерационные методы и вычисления очередного вектора для последующей подстановки:


Поиск нулей функции. Итерационные методы


Сходимость к решению такого процесса зависит от вида функции правой части и, следовательно, от величин масштабирующих коэффициентов Поиск нулей функции. Итерационные методы. Сходимость будет, если скалярная функция Поиск нулей функции. Итерационные методы, однозначно характеризующая изменение вектора Поиск нулей функции. Итерационные методы за один цикл, больше значения этой функции при подстановке в нее соответствующих Поиск нулей функции. Итерационные методы:


Поиск нулей функции. Итерационные методы.


Если Поиск нулей функции. Итерационные методы и Поиск нулей функции. Итерационные методы, условие Поиск нулей функции. Итерационные методы именуют условием Липшица.


Если Поиск нулей функции. Итерационные методы – диагональная матрица, то величины Поиск нулей функции. Итерационные методы можно выбрать из условия отрицательности скорости изменения Поиск нулей функции. Итерационные методы. Для этого достаточно взять производную от рекуррентной формулы и установить соответствующее соотношение с нулем:


Поиск нулей функции. Итерационные методы

Таким образом, знание максимальных значений производных системы функций в области [a, b] нахождения корня Поиск нулей функции. Итерационные методы, позволяет выбрать масштабирующие коэффициенты, обеспечивающие сходимость процесса.


3. Итерационный процесс Ньютона


Вторым по важности и популярности итерационным процессом для случая аналитического задания системы уравнений и локализации области нахождения корня является итерационный процесс Ньютона.


Поиск нулей функции. Итерационные методы .


Пусть отклонение начального вектора искомого решения отличается от точного на величину Поиск нулей функции. Итерационные методы, тогда, выполнив разложение в ряд Тейлора неявных функций Поиск нулей функции. Итерационные методы в окрестности Поиск нулей функции. Итерационные методы и ограничившись слагаемыми с частными производными первого порядка, получим систему уравнений для вычисления добавок к начальному вектору, приближающих последний к значению корня:


Поиск нулей функции. Итерационные методыПоиск нулей функции. Итерационные методы.


Обозначим частные производные Поиск нулей функции. Итерационные методы (Поиск нулей функции. Итерационные методы). Система уравнений для вычисления вектора Поиск нулей функции. Итерационные методы будет:


Поиск нулей функции. Итерационные методы,

где Поиск нулей функции. Итерационные методы – матрица, обратная матрице Якоби из частных производных:


Поиск нулей функции. Итерационные методы .


Итерационную процедуру Ньютона для вычисления корней нелинейной системы уравнений можно в результате представить так:


Поиск нулей функции. Итерационные методы,

Поиск нулей функции. Итерационные методы.


Здесь верхний индекс в обозначениях частных производных указывает на подстановку в них значения x , полученного на k-той итерации.

Остановка итерационного процесса осуществляется тогда, когда по всем компонентам вектора x достигнута заданная относительная погрешность Поиск нулей функции. Итерационные методы, т.е. должна быть истинной конъюнкция:


Поиск нулей функции. Итерационные методы


В одномерном случае итерации для уравнения g(x)=0 выглядят так:


Поиск нулей функции. Итерационные методы

Нетрудно заметить одну и ту же природу коэффициентов, стоящих перед значением функций у трех вариантов итерационных процедур и обеспечивающих сходимость процесса Поиск нулей функции. Итерационные методы: все они учитывают значение производных в области нахождения нулей функции.

Литература


Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н. С. Бахвалов А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.

Блинов И.Н., “Об одном итерационном процессе Ньютона”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 33:1 (1969), 3–14

Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш. шк., 2001. - 383с.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 250 с.

Шуп Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. - 255с.