Xreferat.com » Рефераты по математике » Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

Сколько стоит написать твою работу?

Работа уже оценивается. Ответ придет письмом на почту и смс на телефон.

?Для уточнения нюансов.
Мы не рассылаем рекламу и спам.
Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе.
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку.

Спасибо, вам отправлено письмо. Проверьте почту .

Если в течение 5 минут не придет письмо, пожалуйста, повторите заявку.
Хотите промокод на скидку 15%?
Успешно!
Отправить на другой номер
?Сообщите промокод во время разговора с менеджером.
Промокод можно применить один раз при первом заказе.
Тип работы промокода - "дипломная работа".

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. Класифікація помилок вимірювання


Вимірювання – це процес знаходження якої-небудь фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів; це пізнавальний процес порівняння величини чого-небудь з відомою величиною, прийнятою за одиницю (еталон).

Вимірювання бувають статичні, коли вимірювальна величина не змінюється і динамічні, коли вимірювальна величина міняється.

Вимірювання поділяються на прямі і посередні.

При прямих вимірюваннях шукана величина визначається безпосередньо з досліду, при посередніх – функціонально із других величин, які визначені прямими вимірами.

Розрізняють три класи вимірювань.

Особливо точні – еталонні вимірювання з максимально можливою точністю. (Він не застосовується в експериментальних дослідженнях будівельної галузі).

Високоточні – вимірювання, похибка яких не повинна перевищувати заданих значень.

Технічні вимірювання у яких похибка визначається особливостями засобів вимірювання.

Розрізняють абсолютні вимірювання і відносні.

Абсолютні – це прямі вимірювання в одиницях вимірювальної величини (в процентах).

Відносні – вимірювання, які представлені відношенням величини, що вимірюється до однойменної величини, яка є порівняльною. Наприклад відносна вологість грунту W/Wт, де Wт – абсолютна вологість грунту.

Результати вимірювань оцінюються різними показниками:

Похибка вимірювання – це алгебраїчна різниця між дійсним значенням вимірювальної величини (хд) і отриманим при вимірюванні (хі).


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.1)


Е - абсолютна похибка вимірювання;

δ – відносна похибка вимірюється в процентах;

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

δ=Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.2)


Точність вимірювань – це степінь наближення вимірювання до дійсного значення величини.

Вірогідність вимірювань показує степінь довіри до результатів вимірювання, тобто ймовірність відхилень вимірювання від дійсних значень.

Похибки класифікують на систематичні і випадкові.

Систематичні – це такі похибки вимірювання, які при повторних експериментах залишаються постійними.

Випадкові – похибки, які виникають випадково при повторному вимірюванні, вони можуть бути виключені як систематичні. Різновидністю випадкових похибок є грубі похибки або промахи, які в розрахунок не приймаються, і при обчисленні хд їх виключають. Таким чином:


Е=Е1+Е2 (6.3)


де Е1, Е2 – систематичні і випадкові похибки.


Аналіз випадкових похибок основується на теорії випадкових величин.

Числові значення випадкової величини ще не дають повної уяви про цю випадкову величину.

Систематична похибка спостерігається у тих випадках, коли середнє значення послідовних вимірів постійно відхиляється від відомого точного значення в одну сторону – незалежно від числа вимірів. Одним із ефективних способів виявлення і оцінки систематичних похибок є різні рівняння, які описують ті або інші закономірності. При цьому використовується поняття абсолютної і відносної похибки.

Під абсолютною похибкою ΔX розуміють різницю між результатом виміру X і правдивим значенням вимірювальної величини X0.


ΔX=X-X0 (6.4)


Під відносною похибкою δx розуміють відношення абсолютної похибки до правдивого значення вимірювальної величини:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.5)


В основі теорії похибок лежать дві такі думки, які підтверджені досвідом:

остаточна похибка любого вимірювання є результатом великого числа малих похибок, розпреділених випадково;

додатні і відємні відхилення відносно правдивого значення вимірювальної величини рівноймовірні, причому великі похибки зустрічаються рідко чим малі. Це дає можливість рахувати, що похибки роз приділяються у відповідності з нормальним законом розподілу Гаусса. Щільність нормального розподілу рівна:

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.6)

де x-- вимірювальна величина;

f(x)--щільність розподілу, що характеризує ймовірність деякого відхилення X від його математичного сподівання mx (тобто від правдивого значення);

σx--середнє квадратичне відхилення.


З даного виразу витікає, що для характеристики розподілу величини достатньо знати величини Х і σx, якщо рахувати, що всі можливі значення Х виміряні, тобто є безмежна кількість вимірювань, яка називається генеральною сукупністю. Кожний конкретний результат експерименту являє собою скінчене число вимірів, сукупність яких можна розглядати як випадкову вибірку із генеральної сукупності.


Математичне сподівання випадкової величини


Число, навколо якого групуються значення випадкової величини, є характеристикою положення; число, що характеризує ступінь розкиданості значень випадкової величини навколо характеристики положення, є характеристикою розсіяння.

Однією з основних характеристик положення випадкових величин є математичне сподівання.

Математичним сподівання випадкової дискретної величини називається сума добутків окремих значень, що їх набуває на їх, відповідні ймовірності.

Нехай дано ряд розподілу дискретної випадкової величини:

Таблиця 6.1.

Х Х1 Х2 ..... Хп
Р Р1 Р2 ..... Рп

Позначивши математичне сподівання через Е(х) за означенням, дістанемо:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.7)


Математичне сподівання часто називають центром розподілу або центром розсіяння. Математичне сподівання випадкової величини дорівнює середній їй, значень зваженій за ймовірностями:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях


ПРИКЛАД.

Дано розподіл кількості написаних знаків за 5 хв. певною групою студентів (табл.6.2).Визначити математичне сподівання (середню кількість знаків, що їх може написати студент за 5 хв.) кількості написаних знаків:


Таблиця 6.2

Кількість написаних знаків за 5 хв. 230

254


262 274 281 282 285 302 307 308
Імовірність Рі 0,075 0,125 0,025 0,075 0,175 0,25 0,025 0,10 0,10 0,05
Хі * Рі 17,25 31,75 6,55 20,55 49,175 70,50 7,125 30,2 30,7 15,40

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Математичне сподівання визначається за формулою 6.7.

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях


Отже, в середньому один студент за 5 хв. напише 279 знаків.

Математичне сподівання неперервної випадкової величини визначається за формулою:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.8)


де f(x)--функція щільності розподілу iмовірностей.


Властивості математичного сподівання:

Математичне сподівання сталої величини дорівнює цій самій сталій:


E(a) = a (6.9)


Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання:


E(cX) = cE(X) (6.10)


Математичне сподівання алгебраїчної суми випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі їх математичних сподівань:


E(X±Y±Z±…±W)=E(X)±E(Y)±E(Z)±…±E(W) (6.11)

Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:


E(XY)=E(X)*E(Y) (6.12)


Математичне сподівання випадкової величини завжди обмежене найбільшим і найменшим її значеннями :


xmin < E(X) < xmax (6.13)


6.3 Дисперсія


Другою важливою характеристикою випадкової величини є дисперсія, яка характеризує ступінь розсіяння значень випадкової величини навколо її середньої. Математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання називається дисперсією і позначається через D(x) або σ2 .

Для дисперсії випадкової величини дисперсія обчислюється за формулою:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.14)


Дисперсія має такі основні властивості :

Дисперсія сталої величини дорівнює нулю. Справді, нехай X=c. Тоді:


D(X)=D(c)=E(c-c)2=E(c-c)2=0 (6.15)

через те що середнє значення сталої величини дорівнює самій сталій.

Сталий множник можна винести за знак дисперсії. При цьому його треба піднести до квадрата:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.16)


Дисперсія суми кількох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх, дисперсій:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.17)


Дисперсія випадкової величини дорівнює середньому значенню її квадрата мінус квадрат її середнього значення:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.18)


Величина


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.19)


називається середнім квадратичним відхиленням і є мірою для характеристики ступеня розсіяння випадкової величини.

ПРИКЛАД

За даними прикладу попереднього параграфа ( табл.6.2) обчислити дисперсію та середнє квадратичне відхилення.


РОЗВ’ЯЗАННЯ


Дисперсію обчислюємо за формулою ( 6.14 ) :


σ2=(230-279)2·0,075+ (254-279)2·0,125+ (262-279)2·0,25+ (274- -279)2·0,075+ (281-279)2·0,175+ (282-279)2·0,25+ (285-279)2·0,025+ +(302-279)2·0,1+ (307-279)2·0,1+ (308-279)2·0,05=444


Середнє квадратичне відхилення обчислюємо за формулою ( 6.19 ) :


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях


За міру розсіяння можна взяти модуль імовірностей , який визначається за формулою:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.20)


Інколи розсіяння нормальної кривої характеризують мірою точності, яка є оберненою величиною до модуля ймовірностей:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.21)

Для великої вибірки і нормального закону розподілу загальною оціночною характеристикою вимірювання є дисперсія й коефіцієнт варіації.


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях, Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.22)


Дисперсія характеризує однорідність вимірювання. Чим вище Д, тим більший розкид вимірів. Коефіцієнт варіації характеризує мінливість. Чим вище Кв, тим більша мінливість вимірювань відносно середніх значень. Кв оцінює також розкид при оцінюванні декількох вибірок.

В цій задачі можливий другий варіант. На основі визначених даних встановлена певна (надійна) ймовірність Рд. Дуже часто її приймають рівною 0,9; 0,95; 0,9973. Необхідно встановити точність вимірювання, тобто надійний інтервал 2µ.

Так як Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях, то по таблиці можна визначити половину надійного інтервалу:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.23),


де Ф(Рд) – аргумент функції Лапласа, або при n<10 Стьюдента (табл. 6.2). Надійний інтервал характеризує точність вимірювання даної вибірки, а надійна ймовірність – вірогідність вимірювання.


Приклад.

Виконано 30 вимірювань міцності одежи ділянки автомобільної дороги. При цьому середній модуль пружності одежи Еэ=170 МПа. Визначене значення середньоквадратичного відхилення є Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях=3.1 МПа. Визначити точність і вірогідність експерименту.

Точність вимірювання визначаємо для різних рівнів вірогідної ймовірності, прийнявши, відповідно значення argФ(t) із таблиці 6.1: Рд=0,9; 0,95; 0,9973; µ=Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях ;


µ=Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях;

µ=Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженняхМПа.


Отже для даного засобу і методу надійний інтеграл зростає приблизно в два рази, якщо Рд збільшити тільки на 10%. Необхідно визначити вірогідність вимірів для встановленого надійного інтервалу, наприклад Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях за формулою (6.5) Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях.

За табл. 6.1 для 2.26 визначаємо Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. Це означає, що в заданий надійний інтервал із 100 вимірювань не попадає тільки три.

Значення 1 - Ф(t) називають рівнем значності. Із нього виходить, що при нормальному законі розподілу похибка, яка перевищує надійний інтервал, буде зустрічатися один раз із nи вимірів:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.24)


або вибірковувати одне із nи вимірів.

Встановлення мінімальної кількості вимірів.

Всі експериментальні дослідження в техніці базуються на вимірах. Задача зводиться до встановлення мінімального, але достатнього об’єму вибірки (числа вимірювань) Nmin при заданих значеннях надійного інтервалу Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях і надійної ймовірності. При виконанні вимірювання необхідно знати їх точність Δ, яку характеризують δ0 – середньоарифметичне значення середньоквадратичного відхилення Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях; Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.25)


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях - середня помилка.


Надійний інтервал помилки вимірювання Δ визначається аналогічно, як і для вимірювань Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. За допомогою t легко визначити надійну ймовірність помилки вимірювання з таблиці 6.1.

В дослідженнях за заданою точністю Δ і надійною ймовірністю визначають мінімальну кількість вимірювань, яка гарантує потрібні значення Δ і Ф(t).

Аналогічно рівнянню (6.23) з урахуванням (6.25) запишемо


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.26)


звідси, приймаючи Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженняхNmin=n, будемо мати

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.27)


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях- коефіцієнт варіації (мінливості), %;

D - точність вимірювання, %.

Для визначення Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях можна прийняти таку послідовність:

Нехай n – кількість вимірів від 20 до 50, в залежності від складності дослідів.

Визначають середнє квадратичне відхилення m (6.21).

Встановлюють необхідну точність вимірювань m, D, яка повинна бути не менше точності приладу.

Установлюють нормативне відхилення t, значення якого задають, наприклад при великій точності вимірювань t=3.0, при малій – t=2.0, можна прийняти t=2.5.

Із (6.26) визначають Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. В процесі експерименту число вимірів не повинно бути менше Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях.


Приклад

при прийманні споруди, комісія в якості одного із параметрів, вимірює її ширину. Необхідно виконати 25 вимірів, допустиме відхилення параметра Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженняхм. Необхідно визначити, з якою вірогідністю комісія оцінює даний параметр. Попереднє обчислення значення Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженняхм.

Допустиме відхилення параметра Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженняхм. з рівняння (6.27) запишемо Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях; Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. У відповідності з таблицею (6.). Надійна ймовірність для Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях це низька ймовірність. Похибка перевищує надійний інтервал Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженняхм, згідно формули (6.) ,буде зустрічатися один раз із Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях, тобто із чотирьох вимірювань. Це не допустимо. Вирахуємо мінімальну кількість вимірів, з надійною ймовірністю РД , рівною 0,9 і 0,95. За формулою (6.27) маємо Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях виміри при РД =0,90 і 64 виміри при РД =0,95. Результати вимірювань за допомогою Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях і Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях справедливі при Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. Для знаходження границь надійного інтервалу при малих значеннях застосовують метод запропонований в 1908 році англійським математиком

В.С. Гессетом (псевдонім Стьюдент). Криві розподілення Стьюдента у разі Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях переходять в криві нормального розпреділення (рис. 6.1).


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

Для малої вибірки надійний інтервал


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.28)


де Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях - коефіцієнт Стьюдента, який приймається з табл. 6.2 в залежності від значення надійної ймовірності Фст знаючи mст, можна визначити дійсне значення величини, що вивчається для малої вибірки:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.29).


Можлива інша постановка задачі. Маючи n відомих вимірів малої вибірки необхідно визначити необхідну ймовірність РД за умовою, що похибка середнього значення не вийде за межі Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях.

Задачу розв’язують у такій послідовності:

Визначають середнє значення Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях, Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях і Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях.

За допомогою величини Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях, відомого n і таблиці 6.2 визначають надійну ймовірність.

Інтегральна формула Лапласа

Надійним називається інтервал значень хі у який попадає правдиве значення хд величини, що вимірюється, попадає в даний інтервал.

Надійною ймовірністю ( вірогідністю) вимірювання називається імовірністю Рд того, що правдиве значення хд величини, що вимірюється попадає в даний надійний інтервал.

Ця величина визначається в долях одиниці або в процентах. Необхідно встановити ймовірність того, що хд попаде в зону а<xд<в. Надійна імовірність Рд описується виразом:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.30)


де Ф(t) – функція Лапласса, аргументом якої є відношення µ до середньоквадратичного σ, тобто


t=µ/ σ (6.31)

µ=b-x; µ= - (a-x), t – гарантований коефіцієнт.


Функція Ф(t) – це інтегральна функція Лапласа:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.32)


Її можна записати так:

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.33)


Числові значення Ф(t), приведені в додатку табл. I.

Коли задані межі появи події А(m1 i m2 ), які відрізняються від np на [x], то інтегральна формула Лапласа набуде такого вигляду:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.34)


У цьому випадку:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.35)

Застосовуючи інтегральну формулу Лапласа, слід врахувати, що функція Лапласа – непарна функція тобто, що:


F(-a)= -F(a)


Виходячи з того і взявши до уваги, що:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.36)


можна записати:

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (6.37)


Отже функція Лапласа Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях виражає ймовірність того, що випадкове відхилення t буде в межах –t1 ≤ t ≤ t1. Величина цієї імовірності чисельно дорівнює площі між кривою Лапласа Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях віссю ot і ординатою t=-t1; t=t1( 6.2 ).


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

-t 0 t t


Щоб знайти ймовірність P(m1 ≤ m ≤ m2), треба:

визначити відхилення:


x1=m1-np i x2=m2-np;


знайти одиницю стандартного відхилення:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

знайти величини:


Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях


за таблицею (додаток 1) знайти:


F(t1) i F(t2)


Після цього імовірність визначаємо за формулою ( 6.36 )

Інтервал ймовірностей широко використовується в розрахунках, що пов’язані із застосуванням методів вибірок, зокрема, коли треба:

оцінити результати вибірки з певною імовірністю;

визначити найменшу чисельність вибірки, яка забезпечує потрібну точність;

визначити границі відхилень генеральної середньої від вибіркової.


Метод виключення грубих помилок


При вимірюванні один із результатів різко відрізняється від інших, виникає підозра, що допущена груба помилка.

Позначимо значення, яке відрізняється від ряду інших вимірів – статистичного ряду –Х*, а всі останні результати Х1, Х2..., Хn, підрахуємо середнє арифметичне: Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях і порівняємо абсолютну величину різниці Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженняхх* - Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях звеличиною Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях