О полноте систем упражнений по математическому анализу

системы упражнений будем понимать возможность организации различных форм работы с учащимися при сохранении дифференцированного подхода к ним.

В зависимости от дидактических целей в процессе изучения любого материала можно выделить следующие этапы: повторение, изучение нового материала, закрепление, контроль, коррекция. В системе упражнений должны содержаться упражнения для реализации каждого из указанных этапов. Исходя из конкретного места в учебном процессе, можно выделить несколько разновидностей каждого этапа. Например, контроль может быть текущим и итоговым, тематическим и срезовым. При создании системы упражнений желательно предусмотреть упражнения для проведения контроля указанных типов в виде тестов, контрольных и самостоятельных работ. С учетом требований уровневой дифференциации и индивидуализации контролирующие работы должны быть разноуровневыми и многовариантными (с учетом запасных вариантов). Для закрепления материала необходимо достаточное количество упражнений для тренажа дома и на практическом занятии, аналогичных заданий для освоения алгоритмов, методов решения.

Система упражнений должна давать возможность организовывать различные формы выполнения упражнений: индивидуальная, групповая, коллективная, фронтальная и т.д.

В третий раз, исходя из других предпосылок, мы видим, что указанные требования можно удовлетворить, располагая довольно большой системой упражнений. Количество упражнений еще увеличится, если учесть необходимость обеспечения различных организационных форм уроков и различных методов обучения.

Таким образом, согласно современным требованиям дидактики учитель для эффективной работы должен располагать многофункциональной системой упражнений, большой по объему и хорошо структурированной.

§2. Сравнительный анализ задачников по математическому анализу

Попытаемся выяснить, в какой мере полны традиционно используемые задачники по математическому анализу. Для примера возьмем тему "Экстремум функции".

Понятие экстремума является сложным по двум причинам: во-первых, оно включает в себя два квантора, и, во-вторых, оно не алгоритмично и не позволяет отыскивать точки экстремума. В лучшем случае, оно позволяет доказывать, что предъявленная точка является/не является точкой экстремума. Для освоения этого понятия учащиеся нуждаются в решении многих разнохарактерных упражнений. Рассмотрим коллекции упражнений по данной теме, содержащиеся в задачниках Н.Я.Виленкина [2], И.А.Виноградовой [3], Б.П.Демидовича [5] и Г.Н.Бермана [1]. Подсчитаем в этих задачниках количество упражнений разных типов, оформим полученные данные в виде таблиц и дадим им соответствующую интерпретацию.

Таблица №1

Задачник	Число упражнений
[1]	[2]	[3]	[5]	Σ
Количество упражнений	17	16	10	28	70
Свойства функции	Функции, не дифференцируемые в точке экстремума	4	3	2	5	14
Функции с разрывом в точке экстремума	-	1	-	-	1
Функции, немонотонные в окрестности точки экстремума	-	-	-	2	2

Одним из стандартных и наиболее распространенных упражнений при изучении понятия "экстремум функции" является задание исследовать указанную функцию на наличие экстремума. Таблица №1 показывает, что количество таких заданий невелико: в задачнике [3] содержится 10 упражнений, чуть больше в задачниках [1] и [2] - 17 и 16 соответственно, наибольшее количество упражнений содержится в задачнике [5]. Уже на первом этапе анализа можно сказать, что при использовании традиционных задачников невозможна дифференциация и, тем более, индивидуализация обучения. Действительно, даже 28 упражнений недостаточно для составления индивидуальных заданий для группы в 20-25 человек, тем более, если учесть необходимость охвата данными упражнениями экстремумов разных типов.

Серия примеров из §1 показывает, что непрерывность функции в точке экстремума, дифференцируемость функции в точке экстремума, монотонность функции в односторонней открытой окрестности точки экстремума не являются ни необходимыми, ни достаточными условиями наличия экстремума. Во избежание возникновения и упрочения упрощенных представлений о сути понятия экстремума в упражнениях должны быть представлены функции, обладающие различными сочетаниями свойств в точке экстремума и ее окрестностях. Рассматриваемые задачники не отличаются большим разнообразием в данном отношении. Так, §9 задачника [2] содержит только одну функцию с разрывом в точке экстремума (№314.2) и три функции, не дифференцируемые в точке экстремума (№№ 303.2, 308.2, 309.2), одна из которых является модификацией функции , а две другие - модификациями функции . В задачниках [3] и [1] все предлагаемые функции непрерывны в точках экстремума, а не дифференцируемых среди них две (№107 б,д) и четыре (№№ 1171, 1174, 1177, 1196) соответственно. И вновь недифференцируемые функции являются модификациями функций и . Необходимо отметить, что в выше рассмотренных задачниках [1,2,3] все функции монотонны в открытых односторонних окрестностях экстремальных точек. В задачнике [5] содержится пять функций, не дифференцируемых в точке экстремума (№№ 1421, 1422, 1427, 1428, 1444), и нет ни одной функции с разрывом в точке экстремума. В дополнение к стандартным примерам недифференцируемых функций в №1444 предлагается исследовать функцию . Также в данном задачнике приведены три функции, немонотонные в односторонних открытых окрестностях точки экстремума (№№ 1427, 1428). Ни в одном из задачников не представлены функции, построенные на основе простейших неэлементарных функций , , .

Приведенный анализ выявляет два обстоятельства. Во-первых, функции с подобными "экзотическими" экстремумами весьма немногочисленны, однообразны и рассеяны по разным задачникам. Даже будучи собранными вместе, они не образуют педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне достаточно, если рассматривать задачник как инструмент для выработки технических навыков, сопутствующих лекционному курсу, и отнюдь недостаточно, если требовать от задачника выполнения более сложных функций, как это делается, например, в монографии А.В.Ястребова [11.C.38].

Как было сказано выше, желательно, чтобы при решении упражнений восстанавливались какие-либо утраченные навыки. При отыскании экстремумов дифференцируемых в области определения функций учащийся сталкивается с необходимостью решить уравнение . Возникает естественная возможность повторить методы решения основных типов уравнений, известных учащимся. В школе учащиеся изучают следующие типы уравнений: рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические, трансцендентные, уравнения с параметрами и со знаком модуля.

Таблица №2

Задачник	Число упражнений
[1]	[2]	[3]	[5]
Тип уравнения f' (x)=0	Рациональное	3	4	1	11
Дробно-рациональное	5	3	4	5
Иррациональное	5	1	1	1
Со знаком модуля	-	-	-	-
Тригонометрическое	0|2	2	1	3
Показательное	-	1	-	-
Логарифмическое	-	-	2	2
Трансцендентное	1	2	1	1
С параметром	-	-	-	1

Из таблицы №2 следует, что, в целом, упражнения охватывают всю указанную типологию, за исключением уравнений, содержащих знак модуля. Однако ряд задачников не содержит упражнений на нахождение экстремумов функций, которые приводят к решению уравнений определенного типа. Так, только в задачнике [5] есть только одно упражнение, приводящее к решению уравнения с параметром (№1417). В задачнике [3] не представлены упражнения, приводящие к решению показательных уравнений, в задачнике [2] - упражнения, приводящие к решению логарифмических уравнений. Задачник [1] не содержит упражнений, приводящих к показательным, логарифмическим и тригонометрическим уравнениям (в строке "тригонометрические уравнения" после черты указано количество упражнений, приводящих к решению уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции). Во всех задачниках большая часть упражнений приводит к решению простейших рациональных (линейных и квадратных) и дробно-рациональных уравнений. Остальные типы уравнений представлены одним-двумя экземплярами.

Известно, что усвоение математического материала учащимися достигается в результате решения разнохарактерных упражнений: вычислительных упражнений на применение алгоритмов, упражнений на доказательство, на нахождение заданных математических объектов. Анализ упражнений, содержащихся в задачниках [1,2,3,5], показывает, что умственные действия, выполняемые учащимися в связи с изучением понятия экстремума, однообразны: во всех упражнениях нужно найти экстремум. В задачниках отсутствуют упражнения на принадлежность к категории, на дополнение условий, на построение функций с экстремумами заданных типов и значений, на обобщение.

В результате анализа можно сделать следующий вывод: коллекции упражнений по теме "Экстремум функции", содержащиеся в рассматриваемых задачниках, не полны в целом ряде отношений и, следовательно, нуждаются в пополнении. В дальнейших публикациях нами будет предложен ряд способов конструирования упражнений по данной теме, позволяющих частично устранить указанные недостатки и существенно расширить систему упражнений.

Список литературы

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Гос.изд-во физ.-мат.лит., 1963. 443 с.

Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа / Под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение, 1971. Ч.1. 350с.

Виноградова И.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу/ И.А. Виноградова, С.Н.Олехник, В.А.Садовничий. Под общ.ред. В.А.Садовничего. М.:Изд-во Моск.ун-та, 1988. 416с.

Гузеев В.В. Образовательная технология: от приема до философии. М.: Сентябрь, 1996. 112с.

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990. 624с.

Иванов А.П., Фоминых Ю.Ф. Использование тестов для повышения системности знаний учащихся по математике // Содержание и методы обучения математике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методологический аспекты. Тезисы докладов XVIII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и пед.вузов. Брянск, октябрь 1999 г. Брянск: Изд-во Брянского гос.пед.ун-та, 1999. 184с.

Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 240с.

Смирнов Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 1998. 313с.

Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. Томск: Изд-во Том.ун-та. Москва: Изд-во "Барс", 1997. 392с.

Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М.: Просвещение, 1986. 255с.

Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс- параллели и взаимосвязи. Ярославль: ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 1997. 137с.