Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя
t := b[k];
b[k] := b[l];
b[l] := t;
end;
{ Преобразуем матрицу }
For i := k + 1 to n do begin
q := a[i, k] / a[k, k];
For j := 1 to n do
If j = k then
a[i, j] := 0
else
a[i, j] := a[i, j] - q * a[k, j];
b[i] := b[i] - q * b[k];
end;
end;
{ Вычисляем решение }
x[n] := b[n] / a[n, n];
For i := n - 1 downto 1 do begin
t := 0;
For j := 1 to n-i do
t := t + a[i, i + j] * x[i + j];
x[i] := (1 / a[i, i]) * (b[i] - t);
end;
Gauss := true;
End;
Var
n, i: Integer;
a: Matrix ;
b, x: Vector;
Begin
ClrScr;
Writeln('Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса');
Writeln;
Writeln('Введите порядок матрицы системы (макс. 10)');
Repeat
Write('>');
Read(n);
Until (n > 0) and (n <= maxn);
Writeln;
Writeln('Введите расширенную матрицу системы');
ReadSystem(n, a, b);
Writeln;
If Gauss(n, a, b, x) then begin
Writeln('Результат вычислений по методу Гаусса');
WriteX(n, x);
end
else
Writeln('Данную систему невозможно решить по методу Гаусса');
Writeln;
End.
Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса
Введите порядок матрицы системы (макс. 10)
>4
Введите расширенную матрицу системы
A 1 2 3 4 b
1 3.2 5.4 4.2 2.2 2.6
2 2.1 3.2 3.1 1.1 4.8
3 1.2 0.4 -0.8 -0.8 3.6
4 4.7 10.4 9.7 9.7 -8.4
Результат вычислений по методу Гаусса
x1 = 5.0000000000E+00
x2 = -4.0000000000E+00
x3 = 3.0000000000E+00
x4 = -2.0000000000E+00
2.2 Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя
2.2.1. Постановка задачи. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида
a11x1
+ a12x2
+ … + a1nxn
= b1
,
a21x2
+ a22x2
+ … + a2nxn
= b2
,
. . . . . . . . . . . . .
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
для n ≤ 10 по методу Зейделя.
2.2.2. Тестовый пример.
4,1x1 + 0,1x2 + 0,2x3 + 0,2x4 = 21,14 ,
0,3x1 + 5,3x2 + 0,9x3 – 0,1x4 = – 17,82 ,
0,2x1 + 0,3x2 + 3,2x3 + 0,2x4 = 9,02 ,
0,1x1 + 0,1x2 + 0,2x3 – 9,1x4 = 17,08 ,
x1 = 5,2, x2 = –4,2, x3 = 3, x4 = –1,8.
2.2.3. Описание алгоритма. В переменную n вводится порядок матрицы системы, в переменную e – максимальная абсолютная погрешность. С помощью вспомогательной процедуры ReadSystem в двумерный массив a и одномерный массив b вводится c клавиатуры расширенная матрица системы. Начальное прибижение предполагается равным нулю. Оба массива и переменные n и e передаются функции Seidel. В функции Seidel исследуется сходимость системы, и в том случае если система не сходится, выполнение функции прекращается с результатом false. В ходе каждой итерации вычисляется новое приближение и и абсолютная погрешность. Когда полученная погрешность становится меньше заданной, выполнение функции прекращается. Полученное решение выводится на экран при помощи вспомогательной процедуры WriteX.
2.2.4. Листинг программы и результаты работы.
Uses CRT;
Const
maxn = 10;
Type
Data = Real;
Matrix = Array[1..maxn, 1..maxn] of Data;
Vector = Array[1..maxn] of Data;
{ Процедура ввода расширенной матрицы системы }
Procedure ReadSystem(n: Integer; var a: Matrix; var b: Vector);
Var
i, j, r: Integer;
Begin
r := WhereY;
GotoXY(2, r);
Write('A');
For i := 1 to n do begin
GotoXY(i * 6 + 2, r);
Write(i);
GotoXY(1, r + i + 1);
Write(i:2);
end;
GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r);
Write('b');
For i := 1 to n do begin
For j := 1 to n do begin
GotoXY(j * 6 + 2, r + i + 1);
Read(a[i, j]);
end;
GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r + i + 1);
Read(b[i]);
end;
End;
{ Процедура вывода результатов }
Procedure WriteX(n :Integer; x: Vector);
Var
i: Integer;
Begin
For i := 1 to n do
Writeln('x', i, ' = ', x[i]);
End;
{ Функция, реализующая метод Зейделя }
Function Seidel(n: Integer; a: Matrix; b: Vector; var x: Vector; e: Data) :Boolean;
Var
i, j: Integer;
s1, s2, s, v, m: Data;
Begin
{ Исследуем сходимость }
For i := 1 to n do begin
s := 0;
For j := 1 to n do
If j <> i then
s := s + Abs(a[i, j]);
If s >= Abs(a[i, i]) then begin
Seidel := false;
Exit;
end;
end;
Repeat
m := 0;
For i := 1 to n do begin
{ Вычисляем суммы }
s1 := 0;
s2 := 0;
For j := 1 to i - 1 do
s1 := s1 + a[i, j] * x[j];
For j := i to n do
s2 := s2 + a[i, j] * x[j];
{ Вычисляем новое приближение и погрешность }
v := x[i];
x[i] := x[i] - (1 / a[i, i]) * (s1 + s2 - b[i]);
If Abs(v - x[i]) > m then
m := Abs(v - x[i]);
end;
Until m < e;
Seidel := true;
End;
Var
n, i: Integer;
a: Matrix;
b, x: Vector;
e: Data;
Begin
ClrScr;
Writeln('Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя');
Writeln;
Writeln('Введите порядок матрицы системы (макс. 10)');
Repeat
Write('>');
Read(n);
Until (n > 0) and (n <= maxn);
Writeln;
Writeln('Введите точность вычислений');
Repeat
Write('>');
Read(e);
Until (e > 0) and (e < 1);
Writeln;
Writeln('Введите расширенную матрицу системы');
ReadSystem(n, a, b);
Writeln;
{ Предполагаем начальное приближение равным нулю }
For i := 1 to n do
x[i] := 0;
If Seidel(n, a, b, x, e) then begin
Writeln('Результат вычислений по методу Зейделя');
WriteX(n, x);
end
else
Writeln('Метод Зейделя не сходится для данной системы');
Writeln;
End.
Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя
Введите порядок матрицы системы (макс. 10)
>4
Введите точность вычислений
>.000001
Введите расширенную матрицу системы
A 1 2 3 4 b
1 4.1 0.1 0.2 0.2 21.14
2 0.3 5.3 0.9 -0.1 -17.82
3 0.2 0.3 3.2 0.2 9.02
4 0.1 0.1 0.2 -9.1 17.08
Результат вычислений по методу Зейделя
x1 = 5.2000000008E+00
x2 = -4.2000000028E+00
x3 = 3.0000000003E+00
x4 = -1.8000000000E+00