Xreferat.com » Рефераты по математике » Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

Кафедра: АСОИиУ


Лабораторная Работа

На тему: НАХОЖДЕНИЕ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


Москва, 2008 год

НАХОЖДЕНИЕ КОРНЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ


1. Постановка задачи


Пусть задана функция Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений, непрерывная вместе со своими несколькими производными. Требуется найти все или некоторые вещественные корни уравнения


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений. (1)


Данная задача распадается на несколько подзадач. Во-первых, необходимо определить количество корней, исследовать их характер и расположение. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью e. Первая и вторая задачи решаются, как правило, аналитическими или графическими методами. В случае, когда ищутся только вещественные корни уравнения (1), полезно составить таблицу значений функции Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений. Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один.

Найденные приближенные значения корней можно уточнить с помощью различных итерационных методов. Рассмотрим три метода: 1) метод дихотомиии (или деление отрезка пополам); 2) метод простой итерации и 3) метод Ньютона.

2. Методы решения задачи


2.1 Метод деления отpезка пополам


Наиболее простым методом, позволяющим найти корень нелинейного уравнения (1), является метод половинного деления.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, т.е. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений то это означает, что внутри данного отрезка находится нечетное число корней. Пусть для определенности корень один. Суть метода состоит в сокращении на каждой итерации вдвое длины отрезка. Находим середину отрезка [a,b] (см. рис. 1) Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений Вычисляем значение функции Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений и выбираем тот отрезок, на котором функция Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений меняет свой знак. Новый отрезок вновь делим пополам. И этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не сравняется с наперед заданной погрешностью вычисления корня e. Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) приведено на рисунке 1.

Итак, алгоритм метода дихотомии:

1. Задать отрезок [a,b] и погрешность e.

2. Если f(a) и f(b) имеют одинаковые знаки, выдать сообщение о невозможности отыскания корня и остановиться.

Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

Рис.1. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения вида f(х)=0.


3. В противном случае вычислить c=(a+b)/2

4. Если f(a) и f(c) имеют разные знаки, положить b=c, в противном случае a=c.

5. Если длина нового отрезка Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений, то вычислить значение корня c=(a+b)/2 и остановиться, в противном случае перейти к шагу 3.

Так как за N шагов длина отрезка [a, b] сокращается в 2N раз, то заданная погрешность отыскания корня e будет достигнута за итераций.


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений


Как видно, скорость сходимости мала, но к достоинствам метода относятся простота и безусловная сходимость итерационного процесса. Если отрезок [a, b] содержит больше одного корня (но нечетное число), то всегда будет найден какой-нибудь один.

Замечание. Для определения интервала, в котором лежит корень, необходим дополнительный анализ функции Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений, основанный либо на аналитических оценках, либо на использование графического способа решения. Можно также организовать перебор значений функции в различных точках, пока не встретится условие знакопеременности функцииНахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений


2.2 Метод простой итерации


При использовании этого метода исходное нелинейное уравнение (1) необходимо переписать в виде


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (2)


Обозначим корень этого уравнения C*. Пусть известно начальное приближение корня Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений. Подставляя это значение в правую часть уравнения (2), получаем новое приближение


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений


и т.д. Для (n+1)- шага получим следующее приближение


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (3)


Таким образом, по формуле (3) получаем последовательность С0, С1,…,Сn+1, которая стремиться к корню С* при n®Ґ. Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. выполняется условие


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (4)

Исследуем условие и скорость сходимости числовой последовательности {C n} при n®Ґ. Напомним определение скорости сходимости. Последовательность {Cn}, сходящаяся к пределу С*, имеет скорость сходимости порядка a, если при n®Ґ выполняется условие


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (5)


Допустим, что Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений имеет непрерывную производную, тогда погрешность на (n+1)-м итерационном шаге en+1=Cn+1-C*=g(Cn)-g(C*) можно представить в виде ряда


en+1 » Cn+1 – C* = gў(C*) (Cn-C*) +ј@ gў(C*) en+ј


Таким образом, получаем, что при выполнении условия


зgў(C*) з< 1 (6)


последовательность (3) будет сходиться к корню с линейной скоростью a=1. Условие (6) является условием сходимости метода простой итерации. Очевидно, что успех метода зависит от того, насколько удачно выбрана функция Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений.

Например, для извлечения квадратного корня, т. е. решения уравнения вида x =a2, можно положить


x=g1(x)=a/x (7а)


или

x=g2(x)=(x+a/x)/2. (7б)


Нетрудно показать, что


Ѕg1'(C)Ѕ=1,

Ѕg2'(C)Ѕ<1.


Таким образом, первый процесс (7а) вообще не сходится, а второй (7б) сходится при любом начальном приближении С0 >0.

Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

Рис. 2. Графическая интерпретация метода простых итераций для решения уравнения вида x=g(х).


Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3)


С0, С1, …, Сn = C*

приведено на рисунке 2.


2.3 Метод Ньютона


В литературе этот метод часто называют методом касательных, а также методом линеаризации. Выбираем начальное приближение С0. Допустим, что отклонение С0 от истинного значения корня С* мало, тогда, разлагая f(C*) в ряд Тейлора в точке С0 , получим


f(C*) = f(C0) + f ў(C0) (C*-C0) +ј (8)


Если f ў(C0) № 0 , то в (8) можно ограничится линейными по DC =C-C0 членами. Учитывая, что f(C*)=0, из (9) можно найти следующее приближение для корня


C1 = C0 – f (C0) / fў(C0)


или для (n+1)-го приближения


Cn+1= C n – f (C n) / f ў(C n) (9)


Для окончания итерационного процесса можно использовать одно из двух условий


зCn+1 – Cn з< e


или


зf(Cn+1) з< e.


Исследование сходимости метода Ньютона проводится аналогично предыдущему случаю. Самостоятельно получить, что при выполнении условия


Ѕf ''(C)/2f'(C)Ѕ<1. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравненийНахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости (Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений).


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

Рис. 3. Графическая интерпретация метода Ньютона для решения уравнения вида f(х)=0.


Построение нескольких последовательных приближений по формуле (9)


С0, С1, …, Сn = C*


приведено на рисунке 3.


Задание

1. Для заданной функции f(x)

определите число вещественных корней уравнения f(x)=0, место их расположения и приближенные значения (постройте график или распечатайте таблицу значений).

Вычислите один из найденных корней (любой) с точностью e=0,5*10-3.

Для вычислений используйте метод деления отрезка пополам (определите число итераций), а затем этот же корень найдите с помощью метода Ньютона (также определив число итерационных шагов).

Сравните полученные результаты.

Варианты заданий


1. x3 –3x2 +6x – 5 = 0 2. x 3 +sin x –12x-1=0

3. x3 –3x2 –14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x2 +4sin x –1 = 0 6. 4x –ln x = 5

7. x6 –3x2 +x – 1 = 0 8. x3 – 0.1x2 +0.3x –0.6 = 0

9. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 10. ( x -1)3 + 0.5ex = 0

11. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 12. x5 –3x2 + 1 = 0

13. x3 –4x2 –10x –10 = 0 14. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

15. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 16. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

17. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 18. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

19. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 20. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

21. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 22. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

23. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 24. x 4- 2.9x3 +0.1x2 + 5.8x - 4.2=0

25. x4+2.83x3- 4.5x2-64x-20=0 26. Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений


МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


Постановка задачи

Пусть требуется решить систему n нелинейных уравнений:


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (1)


Прямых методов решения системы (1) не существует. Лишь в отдельных случаях эту систему можно решить непосредственно. Например, для случая двух уравнений иногда удаётся выразить одну неизвестную переменную через другую и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.

Систему уравнений (1) можно кратко записать в векторном виде:


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений. (2)


Уравнение (2) может иметь один или несколько корней в области определения D. Требуется установить существование корней уравнения и найти приближённые значения этих корней. Для нахождения корней обычно применяют итерационные методы, в которых принципиальное значение имеет выбор начального приближения. Начальное приближение иногда известно из физических соображений. В случае двух неизвестных начальное приближение можно найти графически: построить на плоскости (x1, x2) кривые f1(x1, x2)=0 и f2(x1, x2)=0 и найти точки их пересечения. Для трех и более переменных (а также для комплексных корней) удовлетворительных способов подбора начального приближения нет.

Рассмотрим два основных итерационных метода решения системы уравнений (1), (2) - метод простой итерации и метод Ньютона.


2. Методы решения системы нелинейных уравнений


2.1.Метод простой итерации


Представим систему (1) в виде


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (3)


или в векторной форме:


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (4)


Алгоритм метода простой итерации состоит в следующем. Выберем некоторое нулевое приближение


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений


Следующее приближение находим по формулам:


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

или более подробно:


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (5)


Итерационный процесс (5) продолжается до тех пор, пока изменения всех неизвестных в двух последовательных итерациях не станут малыми, т.е.


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений


На практике часто вместо последнего условия используют неравенство:


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (6)


где Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений- среднеквадратичная норма n-мерного вектора Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений, т.е.


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений


При использовании данного метода успех во многом определяется удачным выбором начального приближения Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений: оно должно быть достаточно близким к истинному решению. В противном случае итерационный процесс может не сойтись. Если процесс сходится, то его скорость сходимости является линейной.


2.2. Метод Ньютона


В переводной литературе можно встретить название метод Ньютона-Рафсона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации.

Пусть известно некоторое приближение Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений к корню Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений, так что


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений


Тогда исходную систему (2) можно записать следующим образом:

Разлагая уравнение (7) в ряд Тейлора в окрестности точки Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений и ограничиваясь линейными членами по отклонению Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений, получим:


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений,


или в координатной форме:


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (8)


Систему (8) можно переписать в виде:

Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (9)


Полученная система (9) является системой линейных алгебраических уравнений относительно приращений


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений.


Значение функций F1, F2, …, Fn и их производные в (9) вычисляются при


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений.


Определителем системы (9) является якобиан J:

Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений (10)


Для существования единственного решения системы уравнений (9) он должен быть отличен от нуля. Решив систему (9), например, методом Гаусса, найдём новое приближение:


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений.


Проверяем условие (6). Если оно не удовлетворяется, находим Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений и якобиан (10) с новым приближением и опять решаем (9), таким образом, находим 2-е приближение и т.д.


Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений


Итерации прекращаются, как только выполнится условие (6).


Задание

Используя метод Ньютона, найдите решения системы нелинейных уравнений с заданной точностью Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений. Исследуйте сходимость итерационного процесса.

Варианты заданий


1Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 2Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

3Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 4Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

5Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 6Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

7Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 8Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

9Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 10Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений

11Нахождение корня нелинейного уравнения. Методы решения системы нелинейных уравнений 12Нахождение корня нелинейного
    <div class=

Если Вам нужна помощь с академической работой (курсовая, контрольная, диплом, реферат и т.д.), обратитесь к нашим специалистам. Более 90000 специалистов готовы Вам помочь.
Бесплатные корректировки и доработки. Бесплатная оценка стоимости работы.
Подробнее

Поможем написать работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Похожие рефераты: